Алгебраические текстовые задачи на Высшей пробе

Подсказка 1

Давайте введем функцию, выражающую расстояние между двумя точками на окружности.

Подсказка 2

Обозначим целую часть числа x за {x} и введем функцию <x>. При {x} ≤ 1/2: <x> = {x}. При {x} > 1/2: <x> = 1 - {x}. Тогда, например, если длина дуги между точками a и b равна φ, то длина дуги между 2022a и 2022b равна <2022φ>. Теперь подумайте, какому условию должны удовлетворять наши точки.

Подсказка 3

Для краткости будем обозначать точку P(2022ⁿφ) за Pₙ. Заметьте, что точки не могут повторяться.

Подсказка 4

Действительно, если m > n и Pₘ = Pₙ, то выполнялось бы Pₘ₊₁ = Pₙ₊₁, Pₘ₊₂ = Pₙ₊₂ и т.д.. Получилось бы, что число хорд — конечно. Поэтому будет считать, что каждая новая точка попадает строго между ранее поставленными.

Подсказка 5

Введем понятие активной дуги n-го шага. Для натурального n = 1 будем ей считать ту из двух дуг P₀P₁, на которую попадает P₂. Заметьте, что тогда все точки Pₙ лежат на активной дуге первого шага.

Подсказка 6

Действительно, пусть все точки от 2 до m лежат на активной дуге первого шага, а (m + 1)-я — не лежит. Тогда хорды P₀P₁ и PₘPₘ₊₁ пересекаются. Теперь предположим, что мы индукцией по n доказали, что все точки Pₘ попадают на активную дугу n-го шага при m > n. Попробуйте определить активную дугу (n + 1)-го шага.

Подсказка 7

Pₙ₊₁ лежит на n-ой активной дуге, значит, делит ее на 2 части. На одну из этих частей попадает точка Pₙ₊₂ — эту часть и будем называть активной дугой (n + 1)-го шага. Что нам осталось для того, чтобы индукция сработала?

Подсказка 8

Все точки Pₘ должны лежать на этой дуге при m ≥ n + 2.

Подсказка 9

Концы дуги - это какие-то из предыдущих точек P, следовательно, есть фрагмент ломаной, соединяющий их. Какой вывод можно сделать?

Подсказка 10

Если Pₘ еще лежит на дуге, а Pₘ₊₁ — уже нет, и Pₘ₊₂ не совпадает ни с одной из предыдущих точек P, то PₘPₘ₊₁ пересекается с указанным фрагментом ломаной. А что можно сказать про отношение между активными дугами?

Подсказка 11

Каждая следующая активная дуга является подмножеством предыдущей. Давайте обозначим через φₙ длину активной дуги, а через ψₙ — длину дуги Pₙ₋₁Pₙ (той, которая лежит внутри активной). Что можно сказать про отношение этих величин?

Подсказка 12

Или φₙ = ψₙ, или φₙ = φₙ₋₁ - ψₙ. Что можно сказать о последовательности {φₙ}?

Подсказка 13

Это невозрастающая последовательность положительных чисел, следовательно, имеет предел. Докажите, что это невозможно. Что если, например, предел равен нулю?

Подсказка 14

Тогда нулю будет равен и предел {ψₙ}, так как ψₙ ≤ φₙ₋₁. Заметьте, что ψₙ₊₁ = <2022ψₙ>.

Подсказка 15

Если ψₙ ≤ 1/4044, то ψₙ₊₁ = 2022ψₙ. Кроме того, ψₙ всегда не равно нулю. Почему?

Подсказка 16

Потому что иначе две точки бы совпали. Какой ε можно выбрать, чтобы доказать, что 0 не является пределом?

Подсказка 17

Если ε = 1/4044, то в последовательности встречаются члены, большие ε, со сколь угодно большими номерами. Теперь предположим, что предел равен положительному числу а.

Подсказка 18

Так как φₙ равно ψₙ или φₙ₋₁ - ψₙ, последовательность ψₙ разбивается на две подпоследовательности. Чему равны их пределы?

Подсказка 19

Их пределами будут 0 и a. Кроме того, по доказанному ранее, вторая (у которой предел — a) будет иметь бесконечное число членов.

Подсказка 20

Попробуйте рассмотреть некоторое преобразование (в нем используется <x>) и сделать вывод о точке а.

Подсказка 21

Для преобразования ψ → <2022ψₙ> a будет неподвижной точкой. Запишите отношение между a, ψₙ и ψₙ₊₁.

Подсказка 22

Если |ψₙ - a| ≤ 1/4044, то |ψₙ₊₁ - a| = 2022|ψₙ - a|. Будем думать о 0 и a как о двух пределах. Надо вновь подобрать ε.

Подсказка 23

Что, если взять ε < a/2022?

Подсказка 24

Начиная с некоторого номера, ψₙ должны будут попадать в ε-окрестность одного из пределов. А что случится при переходе от ψₙ к ψₙ₊₁?