Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела высшая проба
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#73180

На доске написаны числа 1∕2,1∕3,...,1∕100  . Разрешается стереть любые два числа a  и b  и записать вместо них a+b− ab  . После нескольких таких операций на доске осталось одно число. Чему оно может быть равно?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Есть ощущение, что ответов не сильно много. Может быть, вообще один. Надо понять, как ограничить результат такого процесса. Обычно, в таких задачах помогает инвариант или полуинвариант. Попробуйте что-нибудь с этим придумать.

Подсказка 2

Давайте отдельно посмотрим на выражение a + b - ab. Ничего не напоминает?

Подсказка 3

Верно! -(a-1)(b-1) = (a-1)(1-b) = a + b - ab - 1. То есть у нас были числа a, b. А появилось число -(a-1)(b-1) + 1. Давайте сначала определимся, инвариант у нас будет в виде произведения или в виде суммы?

Подсказка 4

Вот это слагаемое ab всё портит, если рассматривать сумма. Мы про него особо ничего не понимаем. Значит нужно пробовать искать инвариант в виде произведения.

Подсказка 5

Вот мы видим скобки (a-1), (b-1). Давайте попробуем что-нибудь с ними сделать. Что первое приходит на ум?

Подсказка 6

Конечно, давайте попробуем следить за произведением (x₁ - 1)(x₂ - 1)...(x_k - 1), где {x_i} - числа на доске в какой-то момент. Вспомним, что числа a, b заменяются на -(a-1)(b-1) + 1. То есть инвариант заменяется с (а-1)(b-1)... на -(a-1)(b-1).... То есть просто меняет знак. Какой вывод из этого можно сделать?

Подсказка 7

Пусть A — итоговое число. То (A-1) = (1/2 - 1)(1/3 - 1)...(1/100 - 1). Знак остался прежним, так как убрали 98 чисел, значит, знак сменился чётное количество раз. (1/2 - 1)…(1/100 - 1) = (-1/2)*(-2/3)*...*(-99/100) = -1/100. Итого, A = 1 - 1/100 = 99/100.

Показать ответ и решение

Если на доске написаны числа x,x ,...,x
1  2    k  , то будем следить за величиной (x − 1)(x − 1)...(x − 1)
 1     2       k  . Заметим, что вместо выражения вида (a− 1)(b− 1)  будет выражение a+ b− 1 − ab= −(a− 1)(b− 1)  . То есть за каждый ход рассматриваемое выражение меняет знак. Изначально оно было равно

( 1  ) (1   )   ( 1    )   1  2     99    1
  2 − 1 3 − 1 ... 100 − 1 = −2 ⋅3 ⋅...⋅100 = − 100.

Значит, и через 98 операций наше выражение будет равно − 1100-  . То есть в конце будет выписано число − 1100 + 1= 0,99.

Ответ: 0,99

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!