Теория чисел на Высшей пробе
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На доске написаны числа . Разрешается стереть любые два числа
и
и записать вместо них
. После
нескольких таких операций на доске осталось одно число. Чему оно может быть равно?
Подсказка 1
Есть ощущение, что ответов не сильно много. Может быть, вообще один. Надо понять, как ограничить результат такого процесса. Обычно, в таких задачах помогает инвариант или полуинвариант. Попробуйте что-нибудь с этим придумать.
Подсказка 2
Давайте отдельно посмотрим на выражение a + b - ab. Ничего не напоминает?
Подсказка 3
Верно! -(a-1)(b-1) = (a-1)(1-b) = a + b - ab - 1. То есть у нас были числа a, b. А появилось число -(a-1)(b-1) + 1. Давайте сначала определимся, инвариант у нас будет в виде произведения или в виде суммы?
Подсказка 4
Вот это слагаемое ab всё портит, если рассматривать сумма. Мы про него особо ничего не понимаем. Значит нужно пробовать искать инвариант в виде произведения.
Подсказка 5
Вот мы видим скобки (a-1), (b-1). Давайте попробуем что-нибудь с ними сделать. Что первое приходит на ум?
Подсказка 6
Конечно, давайте попробуем следить за произведением (x₁ - 1)(x₂ - 1)...(x_k - 1), где {x_i} - числа на доске в какой-то момент. Вспомним, что числа a, b заменяются на -(a-1)(b-1) + 1. То есть инвариант заменяется с (а-1)(b-1)... на -(a-1)(b-1).... То есть просто меняет знак. Какой вывод из этого можно сделать?
Подсказка 7
Пусть A — итоговое число. То (A-1) = (1/2 - 1)(1/3 - 1)...(1/100 - 1). Знак остался прежним, так как убрали 98 чисел, значит, знак сменился чётное количество раз. (1/2 - 1)…(1/100 - 1) = (-1/2)*(-2/3)*...*(-99/100) = -1/100. Итого, A = 1 - 1/100 = 99/100.
Если на доске написаны числа , то будем следить за величиной
. Заметим, что вместо выражения
вида
будет выражение
. То есть за каждый ход рассматриваемое выражение меняет знак.
Изначально оно было равно
Значит, и через 98 операций наше выражение будет равно . То есть в конце будет выписано число
Специальные программы

Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!