Теория чисел на Высшей пробе
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Тройка целых чисел 
наибольший общий делитель которых равен 
является решением уравнения
Докажите, что 
является кубом целого числа.
Источники:
Подсказка 1
В исходном выражении уже есть куб. Можно ли как-то его переписать так, чтобы получилось, что z делит этот куб?
Подсказка 2
Верно! z(y² + yz - x² + 2xz) = x³. Теперь, если доказать, что НОД z и y² + yz - x² + 2xz, то задача будет решена. Как это сделать?
Подсказка 3
По алгоритму Евклида можно получить, что НОД этих чисел такой же, как НОД z и y² - x². Пойдем от противного: может ли этот НОД быть равен t > 1?
Подсказка 4
Точно! Если t > 1, то x³ делится на t. Кроме того, t делится на некоторое простое q, а тогда и x делится на это q. Какой вывод можно сделать?
Запишем равенство в следующем виде: 
Если мы докажем, что НОД 
и 
равен 
то тогда
будет кубом. Предположим, что 
в этой ситуации не является кубом. Тогда в разложение 
входит какое-то простое число 
в
степени, не кратной 
Скобка 
на 
не делится, значит 
входит в 
в степени, не кратной 
чего быть не
может.
Итак, докажем взаимною простоту 
и 
Ясно, что НОД этих чисел равен НОДу 
и 
предположим, что
этот НОД равен 
Тогда 
делится на 
Пусть 
делится на некоторое простое число 
тогда на 
делится 
и 
Значит, 
также делится на 
Также 
делится на 
а значит и на 
Получается, что НОД 
и 
больше 
противоречие.
Значит, НОД 
и 
равен 
что и требовалось.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
