Теория чисел на Высшей пробе
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все натуральные числа, у которых разность между суммой двух самых больших собственных делителей и суммой двух самых
маленьких собственных делителей является простым числом. (Делитель натурального числа называется собственным, если он отличен от 
и самого этого числа.)
Источники:
Подсказка 1
Ну, во-первых, нужно обрести понимание о том, как устроены наименьшие собственные делители. Для этого вспомним, что по Основной Th. Арифметики n = p₁^a₁*p₂^a₂*...*p_k^a_k (p₁ < ... < p_k) для любого натурального n. Тогда какой наименьший собственный делитель?
Подсказка 2
Верно! Это p₁. Что насчёт следующего по величине собственного наименьшего делителя?
Подсказка 3
Очевидно, что это не p₃, p₄ и т.д. Значит это что-то связанное с p₂ или p₁, причём очевидно, что степень тоже не больше 2. Итого?
Подсказка 4
Верно, либо p₁^2, либо p₂. Пусть эти два наим. делителя это a и b. Что тогда можно сказать про наибольшие собственные делители?
Подсказка 5
Так точно! Это n/a и n/b. Теперь стоит рассмотреть случаи.
Подсказка 6
1-ый случай. a = p₁, b = p₂ - простые. Тогда p = (n/a + n/b) - a - b, где p - простое. То есть pab = (n - ab)(a+b). Посмотрим на делимость, не забывая о том, что a, b, p - простые.
Подсказка 7
Проделайте это сами и поймите, что p = (p₁+p₂). Отсюда в силу чётности и простоты: p₁ = 2, n = 4p₂. Отсюда найдите ответ. Попробуйте разобрать второй случай самостоятельно.
Подсказка 8
2 случай. a = p₁, b = p₁^2. Тогда аналогично получаем, что p₁^2*p = (p₁ + 1)(n - p₁^3). Теперь осталось немного.
Подсказка 9
Воспользуйтесь взаимной простотой p₁ и p₁ + 1 и решите задачу) Успехов!
Имеет место один из двух случаев.
(a) Пусть оба наименьших делителя 
и 
— простые числа. Тогда простым будет число 
откуда
Поскольку числа 
и 
взаимно просты, то 
откуда 
и 
Но тогда в силу выбора 
получаем 
и 
(b) Пусть наименьшие делители имеют вид 
и 
где 
простое. Тогда простым будет число 
откуда
Поскольку числа 
и 
взаимно просты, то 
Это возможно только в случае 
В этом
случае 
откуда 
Но этот случай невозможен, так как у 
один из двух наименьших делителей это
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
