Теория чисел на Высшей пробе

Утверждается, что удовлетворяет условию задачи, если и только если его разложение на простые множители имеет вид либо , либо .

Действительно, для каждого имеется делителей числа , содержащих в степени в разложении на простые множители: все эти делители имеют вид . Следовательно, произведение всех делителей числа содержит в степени . Условие, что произведение всех делителей равно , эквивалентно утверждению, что каждое входит в их произведение в степени , и, тем самым, предыдущее выражение равно . Другими словами,

С другой стороны, . Отсюда следует, что . Пусть . Тогда одно из , скажем, равно 1 , а тогда (простота числа 5). В случае, когда , получаем уравнение , то есть . Итак, все числа , удовлетворяющие условию задачи, имеют разложение на простые множители вида либо , либо . Перечислим те из них, которые лежат между 400 и 600.

Числа . Имеем , тем самым, . Итак, . Следовательно, , а, значит,

Выписывая всевозможные произведения , лежащие в промежутке от 400 до 600 , с вышеуказанными и , получаем .

Единственное , лежащее между 400 и 600 , есть . Итого получаем список всех возможных чисел :