Шаг за шагом

Конечно, приводить явный пример, как можно получить такую расстановку мы не будем. Научимся лучше увеличивать число в выбранной клетке на , не меняя остальные. В предыдущей задаче мы уже это сделали для левой верхней угловой клетки. Увеличить число в произвольной клетке квадрата также не сложно. Выберем прямоугольник , в котором данная клетка является крайней, такой прямоугольник есть для каждой клетки. Увеличим все числа в этом прямоугольнике на единицу, а затем уменьшим на единицу числа в прямоугольнике , являющемся частью прямоугольника и не содержащем клетку . В итоге мы получим квадрат, в котором все числа остались неизменны, кроме числа в клетке : оно увеличилось на .

Теперь, когда мы умеем увеличивать число в произвольной клетке на , не меняя остальные числа, легко получить любую расстановку чисел в таблице. Для этого достаточно применить операцию по увеличению числа в клетке столько раз, на сколько число в ней больше исходного числа, то есть . Например, для левой верхней угловой клетки, в которой должно получиться число , мы применим эту операцию раза, а для одной из центральных, в которой написано число , — раз. В итоге Гарри получит в точности расстановку, указанную на картинке.