Соответствия, сравнения, количества
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В школе учится 
школьник. Они входят в банды, при этом один школьник может входить в несколько банд. Банды входят в
сообщества, при этом одна банда может входить в несколько сообществ. Пусть всего 
сообществ, при этом выполнены следующие
условия.
-
-
Каждая пара школьников входит ровно в одну банду.
-
-
Для каждого школьника
и каждого сообщества 
существует ровно одна банда этого сообщества 
в которую входит
школьник 
-
-
В каждой банде нечетное количество участников. Более того, если в банде
человек, то эта банда входит ровно в 
сообществ.
Найдите все возможные значения 
Подсказка 1
Попробуйте для начала воспользоваться вторым условием и ответить на вопрос: "Какое количество школьников может содержаться в одном сообществе?".
Подсказка 2
Верно! В каждом сообществе должны содержаться все школьники. Теперь стоит ответить на вопрос: "Могут ли пересекаться банды из которых состоит сообщество?"
Подсказка 3
Правильно, не могут! Теперь мы полностью воспользовались вторым условием, поэтому забудем о нём. Теперь давайте пользоваться первым условием. Зафиксируйте одного из школьников P и рассмотрите все банды, которые его содержат. Если обозначить количество банд с этим школьником за k, а сами банды за B_1,B_2...,B_k, то что можно сказать про пересечения любых двух таких банд?
Подсказка 4
Замечательно! Такие банды могут пересекаться только по школьнику P! Если обозначить количество школьников в бандах B_1,B_2, ... B_k за T_1,T_2, ..., T_k соответственно, то что можно сказать про сумму T_i?
Подсказка 5
Все правильно! Сумма T_i равна 10000 + k. Теперь самое время воспользоваться третьим условием. Какое равенство получится, если расписать каждый T_i по третьем условию?
Подсказка 6
Ага! Если заменить каждый T_i на 2T'_i + 1 для всех i от 1 до k, то получаем равенство T'_1 + T'_2 + ... + T'_k = 5000. Теперь вспоминая, что T'_i является количеством сообществ, в которых содержится банда B_i, можем ли мы понять, сколько всего сообществ?
Подсказка 7
Да, Можем! Их ровно 5000. Осталось только привести пример.
Обозначим за 
одного из наших школьников. Заметим, что любое сообщество 
должно содержать всех школьников по второму
условию. Поэтому банды из которых состоит сообщество 
не пересекаются, но в объедении дают всех школьников. Рассмотрим все банды,
которые содержат школьника 
Обозначим эти банды за 
Заметим, что по первому условию эти банды попарно не могут
пересекаться по какому-то школьнику, кроме 
Следовательно, если обозначить за 
количество школьников в бандах
соответственно, то верно следующее равенство: 
. Так как в объединении банд 
встречается каждый школьник, кроме 
по одному разу, а школьник 
встречается 
раз. Теперь воспользуемся третьим условием и
заменим каждое 
на 
Следовательно, верно равенство: 
Заметим, что каждая из банд 
по
третьему условию должна содержаться ровно в 
сообществах, но при этом банды 
и 
при 
не могут лежать в одном
сообществе, и в каждом сообществе должна быть хоть одна банда 
Поэтому сообществ должно быть ровно 
Для построения
примера достаточно взять одну банду, которая содержит всех школьников и сделать 
сообществ, которые состоят только из этой
банды.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
