Соответствия, сравнения, количества

Обозначим за одного из наших школьников. Заметим, что любое сообщество должно содержать всех школьников по второму условию. Поэтому банды из которых состоит сообщество не пересекаются, но в объедении дают всех школьников. Рассмотрим все банды, которые содержат школьника Обозначим эти банды за Заметим, что по первому условию эти банды попарно не могут пересекаться по какому-то школьнику, кроме Следовательно, если обозначить за количество школьников в бандах соответственно, то верно следующее равенство: . Так как в объединении банд встречается каждый школьник, кроме по одному разу, а школьник встречается раз. Теперь воспользуемся третьим условием и заменим каждое на Следовательно, верно равенство: Заметим, что каждая из банд по третьему условию должна содержаться ровно в сообществах, но при этом банды и при не могут лежать в одном сообществе, и в каждом сообществе должна быть хоть одна банда Поэтому сообществ должно быть ровно Для построения примера достаточно взять одну банду, которая содержит всех школьников и сделать сообществ, которые состоят только из этой банды.