Соответствия, сравнения, количества

Пример: Легко проверить, что условие значимости выполняется.

Предположим, есть значимое множество такое что Не умаляя общности можно считать, что и — это наибольшее и наименьшее числа из (к этой ситуации можно прийти, выбрав на числовой прямой новое начало отсчета и единичный отрезок; ясно, что условие задачи от этого не поменяется). Таким образом, все числа множества лежат на отрезке

Далее, пусть — все числа множества из интервала аналогично, пусть — все числа множества из интервала Применив условие к числам и получаем, что число лежит в поскольку два других возможных числа находятся вне (в самом деле, и При этом — различные числа из интервала Значит, каждое должно совпадать с каким-то при этом последовательно получаем, что в частности, видим, что Аналогично, применив условие к числам и получаем, что При этом — числа из интервала совпадающие с какими-то Последовательно получаем, что в частности, видим, что

Сравнивая два вывода, получаем, что обязательно и все полученные неравенства должны обращаться в равенства: и для всех Подстваляя выражения для и получаем систему уравнений относительно и

Решая эту систему, получаем, что Значит, никакие числа интервалов и за исключением точек не могут принадлежать множеству Следовательно, и значит,

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание. Предложим другой возможный путь доказательства оценки. Снова пусть причем и — это минимальное и максимальное числа из Предположим, что в множестве есть число отличное от Не умаляя общности, пусть положим Применяя условие к и получаем, что

при этом Затем применяя условие к и получаем, что

Мы видим, что так же, как и лежит в интервале и не равен Но находится ближе к чем Продолжая так далее, мы получим бесконечнйю последовательность чисел из Противоречие. (Противоречие можно получить и сразу на первом шаге, если выбрать не равное и ближайшее к среди таких чисел.)