Соответствия, сравнения, количества

Пусть четно. Тогда, поскольку четных и нечетных чисел среди поровну, среди сумм четныx — четное количество. Но две или больше четных сумм простыми числами быть не могут, так как число 2 можно представить в виде суммы натуральных чисел единственным способом: 1+1. Следовательно, все суммы в этом случае нечетны, то есть четным соответствуют нечетные и наоборот. Но в таком случае число искомых перестановок равно где — количество таких биекций из в что — простое число при любом Пусть нечетно. Тогда среди сумм есть четная — иначе четное число окажется суммой нечетного количества нечетных. Единственная возможность для этого — 1+1 = 2. Таким образом, Рассматривая теперь отдельно как перестановку чисел оказываемся в ситуации, уже рассмотренной в первой половине решения.