Соответствия, сравнения, количества

Вновь придумаем сопоставление числам одной группы числа другой группы. На этот раз рассмотрим произвольное число, например поменяем в нем все единицы на двойки и наоборот, мы получим . Заметим, что если в числе было единиц, то их станет . При этом числа и разной четности, так как их сумма нечетна. Поэтому из числа одной группы (то есть с четным числом единиц) мы получили число другой группы (то есть с нечетным числом единиц), и наоборот.

Мы снова получили соответствие, в котором каждому числу одного множества соответствует ровно одно число другого множества. При этом никаких чисел без пары не осталось. Значит, чисел в двух множествах поровну.