Соответствия, сравнения, количества

Рассмотрим Покажем, что каждое число представляется ровно одним способом в виде суммы нескольких чисел из

Заметим, что всевозможные суммы нескольких положительных чисел из — это числа, запись которых в четверичной системе счисления содержит только нули и единицы. Аналогично, всевозможные суммы нескольких отрицательных чисел из — это числа, запись которых в четверичной системе счисления содержит только нули и двойки. Следовательно, утверждение свелось к тому, что любое целое число однозначно представляется в виде где четверичные записи чисел и содержат только и или и соответственно.

Легко видеть, что по последней цифре числа однозначно восстанавливаются последние цифры чисел и а также то, был ли при вычитании переход через разряд. Тогда, аналогично, мы можем восстановить предпоследние разряды чисел и и так далее. Начиная с некоторого момента все разряды числа будут нулевыми. Тогда максимум один раз из-за перехода через разряд разряды и будут ненулевыми.

Теперь рассмотрим и Каждое число представляется ровно двумя способом в виде суммы нескольких чисел из одно из представлений содержит а другое — нет. С другой стороны,