Соответствия, сравнения, количества

Пусть имеется разложение

где — различные нечетные числа, причем повторяется в разложении раз. Рассмотрим разложение чисел по различным степеням двойки: Тогда легко видеть, что число разлагается в сумму

причем все слагаемые в этой сумме различны.

Наоборот, если имеется разложение числа на различные натуральные слагаемые, то каждое слагаемое представим в виде где — целое, а — нечетное, можно заменить это слагаемое на слагаемых, равных Получим разложение на нечетные слагаемые. Нетрудно видеть, что нами построено взаимно однозначное соответствие между разложениями первого и второго вида, следовательно количества разложений первого и второго типа равны.