Планиметрия на ММО
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан описанный четырёхугольник 
с тупым углом 
Лучи 
и 
пересекаются в точке 
а лучи 
и 
— в
точке 
Докажите, что 
где 
и 
— радиусы вписанных окружностей треугольников 
и
Источники:
Подсказка 1
Нас просят доказать какое-то странное неравенство… Какие точки стоит обозначить на рисунке для начала? Нас ведь спрашивают про радиусы вписанных окружностей…
Подсказка 2
Пусть T₁ и T₂ — точки касания вписанных окружностей треугольников PBC и QAB со сторонами BC и AB соответственно, а K и L — точки касания вписанной окружности ABCD со сторонами BC и AB соответственно.
Подсказка 3
Что следует из свойств вписанного четырехугольника?
Подсказка 4
AB + CD = BC + AD, поэтому |AD - CD| = |AB - BC|. Как можно найти r₁ и r₂?
Подсказка 5
Посмотрите, например, на треугольник BI₁T₁, где I₁ — центр вписанной окружности треугольника BPC. Как радиус вписанной окружности связан с его углами?
Подсказка 6
r₁ = BT₁ ⋅ tg∠CBI₁. Аналогично для второго треугольника.
Подсказка 7
Заметьте, что ∠QBA = ∠PBC.
Подсказка 8
Попробуйте оценить tg(∠PBC/2).
Подсказка 9
Распишите |BC - AB| через равные отрезки и получите желаемое отношение.
Пусть 
и 
— точки касания вписанных окружностей треугольников 
и 
со сторонами 
и 
соответственно, а 
и
— точки касания вписанной окружности 
со сторонами 
и 
соответственно (см. рис.).
По свойству описанного четырёхугольника 
поэтому 
Из треугольников 
и
имеем, что
Откуда
Так как 
Заметим, что 
как отрезки касательных, а 
ведь 
и 
— точки касания вписанной и вневписанной
окружностей 
со стороной 
аналогично 
Тогда
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
