Планиметрия на ММО
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В остроугольном треугольнике 
проведена биссектриса 
На продолжении отрезка 
за точку 
выбрана точка 
так, что
. Описанные окружности треугольников 
и 
пересекают отрезки 
и 
в точках 
и 
соответственно.
Докажите, что прямые 
и 
параллельны.
Источники:
Подсказка 1
Такс, нам необходимо доказать параллельность прямых... Мы можем либо доказать, что AQ/AB=AP/AC, либо как-то посчитать уголочки. Мы знаем, что биссектриса делит сторону в хорошем отношении. Mожет, тогда подумаем по поводу отрезков?
Подсказка 2
Из свойства биссектрисы мы знаем, что AB/AC=BL/LC. Также на картинке можно заметить много секущих, поэтому логично попробовать посчитать их. Например: BL*BC=BQ*BC₁, где C₁- точка пересечения прямой BA с описанной окружностью треугольника △CLK. Если BQ как-то связана с пропорцией, которую нам надо доказать, то BC₁- не очень. Что мы можем сказать про отрезок AC₁?
Подсказка 3
Т.к. AL=AK и уголочки ∠KAC₁ и ∠LAC равны, то из симметрии AC₁=AC. Тогда: BL*BC=BQ*BC₁=BQ*(BA+AC). Аналогично можно получить, что CL*CB=CP*(AC+AB) ⇒ BL/CL=BQ/CP. Что это нам дает?
Подсказка 4
Т.к. BQ=AB-AQ и CP=AC-AP, а BL/LC=AB/AC ⇒ AB/AC=(AB-AQ)/(AC-AP). Докажите, что из этого следует равенство AB/AC=AQ/AP, и радуйтесь жизни!
Рассмотрим отрезок 
он является общей хордой окружностей, описанных около треугольников 
и 
Точка 
— середина
поэтому она лежит на линии центров 
этих окружностей. Продлим 
и 
до пересечения с окружностями в точках 
и
соответственно. В силу симметрии получившейся конструкции относительно прямой 
отрезки 
и 
равны отрезкам 
и 
соответственно.
Введём следующие обозначения: 
По свойству
секущей
Аналогично, для секущих 
и 
получаем
Разделив одно равенство на другое, получим
По свойству биссектрисы 
треугольника 
получаем
Отсюда
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем
Откуда, по обратной теореме о пропорциональных отрезках, следует, что 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
