Планиметрия на ММО

Первое решение.

Пусть — середина отрезка

Рассмотрим точки и Поскольку точки и лежат на одной окружности. Значит,

Рассмотрим точки и Они также лежат на одной окружности, так как Следовательно,

Помимо того,

Получаем:

Значит, точки и лежат на одной прямой.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Будем считать описанную окружность треугольника единичной с центром в Поскольку — основание перпендикуляра, опущенного из на диаметр получаем Точка является проекцией точки на прямую откуда Пусть — середина отрезка Тогда Осталось показать, что