Планиметрия на ММО
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильном пятиугольнике 
отмечена точка 
— середина 
Серединный перпендикуляр к 
пересекает 
в точке
Докажите, что прямая 
перпендикулярна прямой 
Источники:
Решение 1. Подсказка 1
Из чего может следовать перпендикулярность?
Подсказка 2
Если прямые перпендикулярны, то угол между ними равен 90°. Неплохо было бы посчитать уголки. Что в таком случае можно сразу сказать про правильный пятиугольник?
Подсказка 3
У правильной фигуры все стороны равны, а углы легко находятся. Значит, можно посчитать и некоторые другие углы с их помощью. Например, между диагональю и стороной.
Подсказка 4
Из равнобедренного треугольника CDE легко находим угол ECD, а значит, можем найти и угол ACD. Что в таком случае можно сказать про луч СЕ относительно треугольника ACF?
Подсказка 5
У нас есть серединный перпендикуляр к AF и биссектриса CE к AF треугольника ACF. Есть про них какой-то полезный факт?
Подсказка 6
Они пересекаются на описанной окружности треугольника! Понимаем, чем является AF для треугольника CAD и легко находим угол AHC!
Решение 2. Подсказка 1
Если AH перпендикулярна CE, то каким является треугольник ACH?
Подсказка 2
По какому признаку можно сразу сказать, что треугольник прямоугольный?
Подсказка 3
Например, если медиана равна половине стороны, которой проведена, то треугольник прямоугольный. Почему бы не поискать равные отрезки?
Подсказка 4
Там, где равные отрезки, там и равнобедренные треугольники, поэтому поищем равные уголки для использования признака равнобедренного треугольника.
Подсказка 5
Зная угол правильного пятиугольника, легко находится угол ECD. Чему тогда равен угол ACE?
Подсказка 6
Что особенного в расположении AF относительно CD? Если P — точка пересечения серпера к AF с AC, то как в таком случае взаимно расположены PH с CD?
Подсказка 7
Раз AF является перпендикуляром к CD, а PH — перпендикуляром к AF, то PH и CD параллельны! А какие самые известные факты про параллельность нам известны (вспоминаем, что нам нужны равные отрезки)?
Подсказка 8
Нам нужны равные отрезки, значит, нам нужна теорема Фалеса! Отсюда легко находим, чем является точка Р для отрезка АС. Что осталось доказать?
Подсказка 9
Если PC = PH, то это победа. А из какого условия это можно получить? (не забываем, что у нас есть две параллельные прямые!)
Подсказка 10
Накрест лежащие углы при параллельных прямых равны, значит, PHC = HCD = ACH. Осталось доказать равенство отрезков :)
Первое решение. Угол правильного пятиугольника равен 
тогда
Таким образом, 
содержит биссектрису треугольника 
и, следовательно, пересекает серединный перпендикуляр к стороне 
в точке, лежащей на описанной около этого треугольника окружности. Но 
прямой, значит, и 
прямой, как опирающийся на ту
же дугу.
Второе решение.
Аналогично первому решению 
Так как 
то по теореме Фалеса 
где 
— точка
пересечения серединного перпендикуляра к 
с диагональю 
а углы 
и 
равны как внутренние накрест
лежащие: 
Следовательно, треугольник 
равнобедренный и 
Окончательно получаем,
что 
и треугольник 
прямоугольный, так как его медиана равна половине стороны, к которой она
проведена.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
