Планиметрия на ММО

Пусть и — центры окружностей, описанных около треугольников и соответственно, а — середина стороны Треугольники и подобны, так как у них угол общий, а два других угла равны по условию. Поэтому оставшиеся углы этих треугольников и также равны. Это означает, что описанная окружность треугольника касается прямой а радиус перпендикулярен касательной

Кроме того, лежит на серединном перпендикуляре к стороне Поэтому отрезок длины является ортогональной проекцией отрезка на прямую Но проекция не длиннее отрезка, поэтому причём равенство достигается, когда угол равен так как в этом случае — середина стороны а — середина стороны — средняя линия треугольника