Планиметрия на ММО

Покажем, что биссектрисы треугольника содержат высоты треугольника, образованного прямыми . Для этого докажем, что точка пересечения прямых лежит на биссектрисе угла , а прямая перпендикулярна этой биссектрисе.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Докажем, что прямая перпендикулярна биссектрисе угла .

Пусть и - это точки пересечения окружности с центром в радиуса с отрезками и соответственно. Тогда треугольник - равнобедренный с основанием , поэтому прямая (она же ) перпендикулярна прямой , содержащей биссектрису угла . Поэтому достаточно доказать, что прямая параллельна биссектрисе угла .

Пусть и — середины дуг и окружности , построенной на как на диаметре. Из свойств вписанных углов следует, что — биссектриса — биссектриса . Заметим также, что - диаметр окружности . Значит, отрезки и пересекаются в центре окружности как её диаметры и делятся точкой пересечения пополам. То есть четырёхугольник параллелограмм (и даже прямоугольник, поскольку его углы - вписанные, опирающиеся на диаметры окружности , то есть прямые). В частности, , что и требовалось.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Докажем, что прямые и пересекаются на биссектрисе угла .

Пусть прямые и пересекают отрезки в точках и соответственно, а точку пересечения и обозначим через . Также обозначим углы и треугольника через и соответственно.

Поскольку и , то треугольники и - равнобедренные с углами, равными , напротив оснований. Поэтому . Пусть прямые и пересекают отрезок в точках и соответственно. Тогда треугольник - равнобедренный с основанием , значит . Рассуждая аналогично для треугольника , получаем, что . Тогда получаем

откуда следует, что лежит на окружности, описанной около треугольника . Аналогично точка лежит на окружности, описанной около треугольника . Таким образом, пять точек , лежат на одной окружности.

Тогда по свойству вписанных углов . Четырёхугольник вписанный, поскольку . Значит, , то есть . Отсюда следует, что - биссектриса угла . Аналогично биссектриса угла . Значит, точка является центром окружности, вписанной в треугольник , в частности, лежит на биссектрисе угла .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Повторяя рассуждения для двух других биссектрис треугольника , получаем, что точка пересечения биссектрис треугольника совпадает с точкой пересечения высот треугольника, образованного прямыми