Планиметрия на ММО
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В остроугольном треугольнике 
высоты 
и 
пересекаются в точке 
. Через точки, в которых окружность радиуса
с центром 
пересекает отрезки 
и 
, проведена прямая 
. Аналогично проведены прямые 
и 
. Докажите, что
точка пересечения высот треугольника, образованного прямыми 
, совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник
.
Источники:
Подсказка 1
Нарисуйте большой и правильный чертёж к задаче! Линейкой и циркулем. Желательно 2 раза, в разных конфигурациях.
Подсказка 2
Если вы это сделали, то увидите, что прямые l_B и l_C подозрительным образом пересекаются на биссектрисе угла A. Аналогично для других пар. Попробуем это доказать?)
Подсказка 3
Пусть l_B и l_C пересекают отрезки СH и BH в точках Q и P соответственно. l_B и l_C пересекаются в точке X. ∠BAC = 2a, ∠CBA = 2b, ∠ACB = 2c. Несложным счётом углов докажите, что ∠H_CHP = ∠N_BHQ = 2a. Какой вывод тогда можно сделать?
Подсказка 4
Так как H_CH = HP (по условию), то ∠H_CPH = 90 - a, аналогично ∠H_BQH = 90 - a. Значит, PH_CH_BQ — вписанный. Теперь пусть l_B, l_C пересекают AH в точках V и U соответственно. Что теперь можно сказать про треугольники PUH и QHV?
Подсказка 5
Верно! Они равнобедренные. Несложным счётом углов докажите, что ∠XPH = c, ∠XPH_C = b, а также, что ∠H_CQX = b. Не забывайте, что a+b+c=90. Что мы тогда получаем?
Подсказка 6
Именно! Мы получаем, что X лежит на окружности H_CPQ, то есть на окружности PH_CH_BQ. Вновь посчитав углы, докажите, что H_CX и H_BX — биссектрисы углов ∠AH_CH_B и AH_BH_C. Что из этого следует?
Подсказка 7
То, что AX — биссектриса угла H_CAH_B, то есть AX — биссектриса ∠BAC. Мы доказали, что l_B и l_C пересекаются на биссектрисе ∠BAC. Аналогично докажем это для других пар. Осталось доказать, что XI ⊥ RS, где R, S - точки пересечения l_A с отрезками BH и CH соответственно. Но X лежит на AI, где I — центр вписанной окружности треугольника ABC. Значит нужно доказать, что AI ⊥ RS, потом аналогично докажем это для других пар и задача убита. Итак, приступим. Какой вывод можно сделать про RS в треугольнике RHS? Не забывайте, мы сейчас думаем о биссектрисах.
Подсказка 8
Действительно, RS ⊥ биссектрисе ∠RHS, пусть это прямая p_A. Тогда перпендикулярность AI и RS равносильна параллельности p_A и AI. Оставим это несложное утверждение вам) Успехов!
Покажем, что биссектрисы треугольника 
содержат высоты треугольника, образованного прямыми 
. Для этого
докажем, что точка пересечения прямых 
лежит на биссектрисе угла 
, а прямая 
перпендикулярна этой
биссектрисе.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Докажем, что прямая 
перпендикулярна биссектрисе угла 
.
Пусть 
и 
- это точки пересечения окружности с центром в 
радиуса 
с отрезками 
и 
соответственно. Тогда
треугольник 
- равнобедренный с основанием 
, поэтому прямая 
(она же 
) перпендикулярна прямой
, содержащей биссектрису угла 
. Поэтому достаточно доказать, что прямая 
параллельна биссектрисе угла
.
Пусть 
и 
— середины дуг 
и 
окружности 
, построенной на 
как на диаметре. Из свойств
вписанных углов следует, что 
— биссектриса 
— биссектриса 
. Заметим также, что 
- диаметр
окружности 
. Значит, отрезки 
и 
пересекаются в центре окружности 
как её диаметры и делятся
точкой пересечения пополам. То есть четырёхугольник 
параллелограмм (и даже прямоугольник, поскольку
его углы - вписанные, опирающиеся на диаметры окружности 
, то есть прямые). В частности, 
, что и
требовалось.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Докажем, что прямые 
и 
пересекаются на биссектрисе угла 
.
Пусть прямые 
и 
пересекают отрезки 
в точках 
и 
соответственно, а точку пересечения 
и 
обозначим
через 
. Также обозначим углы 
и 
треугольника 
через 
и 
соответственно.
.png)
Поскольку 
и 
, то треугольники 
и 
- равнобедренные с углами, равными
, напротив оснований. Поэтому 
. Пусть прямые 
и 
пересекают
отрезок 
в точках 
и 
соответственно. Тогда треугольник 
- равнобедренный с основанием 
, значит
. Рассуждая аналогично для треугольника 
, получаем, что 
. Тогда
получаем
откуда следует, что 
лежит на окружности, описанной около треугольника 
. Аналогично точка 
лежит
на окружности, описанной около треугольника 
. Таким образом, пять точек 
, 
лежат на одной
окружности.
Тогда по свойству вписанных углов 
. Четырёхугольник 
вписанный, поскольку
. Значит, 
, то есть 
. Отсюда следует, что 
-
биссектриса угла 
. Аналогично 
биссектриса угла 
. Значит, точка 
является центром окружности,
вписанной в треугольник 
, в частности, лежит на биссектрисе угла 
.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Повторяя рассуждения для двух других биссектрис треугольника 
, получаем, что точка пересечения биссектрис треугольника
совпадает с точкой пересечения высот треугольника, образованного прямыми 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
