Планиметрия на ММО
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В остроугольном треугольнике 
точка 
— центр описанной окружности. Точка 
симметрична точке 
относительно стороны
. Прямые 
и 
пересекаются в точке 
. Докажите, что луч 
является биссектрисой угла 
Источники:
Подсказка 1
Давайте предположим, что AK является биссектрисой угла BKB₁. Обратите внимание, что AB = AB₁ в силу симметрии. Что тогда можно сказать про четырёхугольник ABKB₁?
Подсказка 2
ABKB₁ должен быть вписанным, следовательно, если мы докажем это, то докажем и необходимое по условию. Не забываем про точку O и прямую AO из условия, которые явно намекают нам на диагонали данного четырёхугольника.
Подсказка 3
Заметьте, мы почти не использовали симметрию B и B₁, давайте найдём с её помощью пару уголков. Например, мы можем сказать, что ∠BB₁C = ∠B₁BC = 90 - ∠ACB. Таким образом мы получили один из углов между диагональю и стороной четырёхугольника, осталось доказать, что угол BAK ему равен.
Точка 
— центр описанной окружности треугольника 
, следовательно, 
. Треугольник 
равнобедренный,
поэтому
Точки 
и 
симметричны относительно прямой 
, откуда
Следовательно, четырехугольник 
вписанный
Дуги 
и 
равны в силу симметрии, поэтому 
. Значит, луч 
является биссектрисой угла
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
