Тема ММО (Московская математическая олимпиада)

Планиметрия на ММО

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела ммо (московская математическая олимпиада)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#91943Максимум баллов за задание: 7

Дан остроугольный треугольник $A B C . 0 0 0$ Пусть точки $A , 1$ $B , 1$ $C 1$ — центры квадратов, построенных на сторонах $B C , 0 0$ $C A , 0 0$ $A0B0.$ С треугольником $A1B1C1$ делаем то же самое. Получаем треугольник $A2B2C2$ и т.д. Доказать, что $Δ$ $An+1Bn+1Cn+1$ пересекает $Δ$ $AnBnCn$ ровно в 6 точках.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы знаем, что первый треугольник остроугольный. Если бы мы знали, что каждый новый треугольник является остроугольным, получилось бы решить задачу?

Подсказка 2

Предположим, что мы знаем, что все треугольники остроугольные. Рассмотрим (n-1)-ый и n-ый треугольники и шестиугольник, образованный их вершинами. Можно ли доказать, что он выпуклый?

Подсказка 3

Конечно! Стороны этого шестиугольника являются биссектрисами квадратов, построенных на сторонах (n-1)-го треугольника, тогда диагонали этого шестиугольника лежат внутри его углов. Тогда задача решена. А как доказать, что все треугольники остроугольные?

Подсказка 4

Конечно, надо действовать по индукции! Ранее мы использовали только остроугольность (n-1)-го треугольника. Можно ли теперь вновь использовать утверждение, которое мы уже доказали?

Подсказка 5

Можно! Мы уже знаем, что из n-го и (n-1)-го треугольника легко появляется выпуклый шестиугольник. Как из этого получить нужное утверждение?

Показать доказательство

Докажем, что если $△A B C n−1 n−1 n−1$ остроугольный, то $A B C n n n$ пересекает его в шести точках. Заметим, что $∘ ∠BnAn −1Bn−1 = ∠CnAn−1Bn−1 = 45 .$ Тогда лучи $An−1Bn−1$ и $An−1Cn −1$ лежат внутри угла $BnAn−1Cn.$ Аналогичное утверждение верно для вершин $Bn−1$ и $Cn−1.$ Таким образом, $An−1CnBn−1AnCn−1Bn$ — выпуклый шестиугольник. Тогда, действительно, $△An −1Bn−1Cn−1$ и $△AnBnCn$ пересекаются в $6$ точках.

Докажем теперь, что $AnBnCn$ — остроугольный треугольник. Доказательство проведем по индукции. База верна по условию. Пусть $△An −1Bn−1Cn−1$ — остроугольный. Тогда у нас уже есть доказанное утверждение о том, что $An− 1CnBn −1AnCn −1Bn$ — выпуклый шестиугольник. Тогда $∘ ∠CnAnBn < ∠Bn−1AnCn −1 = 90 .$ Таким образом, $∠CnAnBn$ — острый. Аналогично для остальных углов треугольника $AnBnCn.$ Тогда, действительно, треугольник $AnBnCn$ остроугольный.