Комбинаторика на ММО: графы, турниры, логика, конструктивы
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Герцог Сумматор выбрал некоторые вещественные числа (хотя бы одно, но, возможно, бесконечное количество). То же самое сделал
герцог Вычитатор. Оказалось, что если 
является числом Сумматора, а 
является числом Вычитатора, то 
является числом Сумматора, а 
является числом Вычитатора. Обязательно ли все числа Сумматора являются числами
Вычитатора?
Источники:
Подсказка 1
Если не понятно, что делать с конструкцией в буквах, то часто полезно поисследовать частные случаи! Посмотреть на наборы из небольшого количества чисел, поискать интересные свойства нашей конструкции.
Подсказка 2
Удаётся ли заметить, что многие получающиеся числа Сумматора и Вычитатора оказываются одинаковыми по знаку, но разными по модулю? А что если попробовать доказать это строго?
Подсказка 3
Итак, мы доказали, что если у Сумматора есть число х, то у второго Герцога точно есть число (-х). Попробуйте проверить уже на буквах, всегда ли у Сумматора также будет число (-х)?
Подсказка 4
Осталось снова применить факт, доказанный в пункте 2 и собрать всё в итоговый вывод!
Пусть 
— некоторое число Вычитатора, 
— некоторое число Сумматора.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Лемма. Если 
— число Сумматора, то 
является числом Вычитатора.
Действительно, по условию получаем, что сумма чисел 
и 
является числом Сумматора. Тогда разность 
является
числом Вычитатора. Лемма доказана.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Вернёмся к задаче. Пусть 
— произвольное число Сумматора. По лемме число 
является числом Вычитатора. Значит, разность
чисел 
и 
является числом Вычитатора. Но тогда сумма чисел 
и 
что равно 
является числом Сумматора. Снова
применяя лемму, получаем, что 
— число Вычитатора, что и требовалось.
Замечание. Из решения следует, что множества чисел, выбранных Сумматором и Вычитатором, совпадают.
Да, обязательно
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
