Комбинаторика на ММО: графы, турниры, логика, конструктивы
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Придворный астролог называет момент времени хорошим, если часовая, минутная и секундная стрелки часов находятся по одну сторону от какого-нибудь диаметра циферблата (при этом секундная стрелка может показывать только на деления, соответствующие минутам, а часовая и минутная стрелки движутся равномерно). Каких моментов времени в сутках больше, хороших или плохих?
Подсказка 1
Давайте сначала разберёмся, когда же момент времени является плохим. Рассмотрим две любые стрелки, какие положения третьей стрелки "портят" момент?
Подсказка 2
Пусть O — центр часов. Лучи OS, OM, OH соответствуют секундной, минутной и часовой стрелкам соответственно. Рассмотрим минутную и часовую стрелку. Какие положения OH нас не устраивают?
Подсказка 3
Верно! Когда луч HO (именно такой порядок) лежит в секторе между лучами MO и SO, иначе, существует нужный диаметр. Советую нарисовать для полного осознания.
Подсказка 4
Мы нашли хотя бы какой-то критерий "плохости" момента. Теперь отвлечёмся от этого. Как в теории можно доказать, что чего-то больше чего-то. Какие стандартные идеи мы знаем?
Подсказка 5
Ну, например, посчитать в явном виде. Давайте-ка прикинем... Да как это вообще считать? Столько случаев... Значит, нужно что-то более умное. Что это может быть?
Подсказка 6
Верно! Отображение одного множества в другое. Другими словами, нам нужно построить соответствие между "хорошими" и "плохими" моментами. Потом в каком-то из этих множеств (пусть А) найти элемент, для которого нет соответствия в оставшееся множество. Это будет означать что множество А "больше" B. Придумаем сначала соответствие.
Подсказка 7
Хотим, чтоб соответственные моменты не особо сильно то и отличались. Значит, можно попробовать менять лишь один параметр (часы, минуты, секунды), чтоб придумать алгоритм. Не забываем про критерий "плохости".
Подсказка 8
Раз мы выбрали как две основные стрелки минутную и секундную, давайте попробуем менять часовую. Очевидное замечание: при изменении часов на целое число секундная и минутная остаются на тех же местах. Как бы перевести "плохую" часовую стрелку в "хорошую"?
Подсказка 9
Верно! Отразить относительно центра часов, чтоб она вышла из плохого сектора. Или же прибавить 6 часов. Что мы теперь имеем?
Подсказка 10
Каждому плохому моменту соответствует хороший, причём они все различны (осознайте это). Что это означает?
Подсказка 11
Что плохих моментов не больше, чем хороших. Осталось найти хороший момент, которому по аналогичному принципе соответствует тоже хороший. Тогда задача будет решена. Успехов!
Сделаем несколько замечаний, каждое из которых очевидно.
Любые две стрелки определяют «плохой» сектор между их продолжениями, попав в который, третья стрелка создает плохой момент
времени. Этот сектор не превосходит 
Через целое число часов положение минутной и секундной стрелок будет таким же.
Заметим, что через 6 часов после каждого плохого момента будет хороший (так как часовая стрелка повернется на 
и попадет из
плохого сектора в хороший).
С другой стороны бывают хорошие моменты, через 
часов после которых будет опять хороший момент. Теперь можно
разбить сутки на интервалы хорошего и плохого времени, так что каждому интервалу плохого времени соответствует
интервал хорошего времени такой же длины (при сдвиге на 
часов), поэтому хорошего времени не меньше, чем плохого.
Кроме того, некоторым интервалам хорошего времени соответствуют опять хорошие интервалы. Так, например, интервалу
соответствует интервал 
Оба интервала хорошие. Значит, хорошего времени больше, чем
плохого.
Хороших
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
