Комбинаторика на ММО: графы, турниры, логика, конструктивы

Первое решение. Предположим, что такого треугольника не существует, и докажем, что существует прямая, все точки которой имеют один цвет.

Пусть на некоторой прямой есть две точки одного цвета (обозначим этот цвет расстояние между которыми равно Пусть — две прямые, параллельные и удаленные от нее на расстоянии Если на какой-нибудь из этих прямых есть точка цвета то она образует с точками треугольник площади все вершины которого имеют одинаковый цвет. Если на каждой из прямых присутствуют два цвета и на одной из них найдутся две точки одного цвета на расстоянии то они вместе с точкой такого же цвета на другой прямой образуют треугольник площади все вершины которого имеют одинаковый цвет. Если же на каждой из прямых присутствуют два цвета и любые две точки на расстоянии разных цветов, то любые две точки на расстоянии будут одного цвета, а значит, на прямой все точки имеют цвет

Пусть теперь все точки некоторой прямой покрашены в цвет Тогда остальные точки плоскости покрашены в два оставшихся цвета. Возьмем прямую, не параллельную и две точки на ней одного цвета (обозначим этот цвет Если на какой-нибудь из двух прямых, параллельных и удаленных от нее на расстояние найдется точка цвета то и эта точка образует треугольник площади все вершины которого имеют одинаковый цвет. Если же таких точек нет, то найдется треугольник площади с вершинами цвета

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Пусть не все точки плоскости раскрашены в один цвет. Тогда на некоторой прямой присутствуют точки разных цветов: точки и цвета и точка цвета Пусть — прямоугольник, в котором середины сторон соответственно, длины этих сторон равны — середины п соответственно, — точка, симметричная относительно

Если среди точек есть точка цвета она образует искомый треугольник с точками Если среди точек нет точек цвета то возможны следующие случаи.

1.

Точки и (рассуждение для точек и аналогичны) разного цвета. Тогда цвет совпадает с цветом одной из них, например, Если какая-то из точек того же цвета, эти три точки образуют искомый треугольник. В противном случае искомым будет треугольник

2.

Если одна из пар или цвета она образует искомый треугольник с точкой

3.

Если все точки цвета и одна из точек тоже цвета то треугольник или искомый. В противном случае треугольник искомый.