Алгебраические текстовые задачи на ММО
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В выпуклом многограннике обозначим через В, Р и Т соответственно число вершин, рёбер и максимальное число треугольных граней, которые имеют общую вершину. Докажите, что
Например, для тетраэдра (
выполняется равенство, а для треугольной призмы (
или куба
(
имеет место строгое неравенство.
Источники:
Подсказка 1
Будем воспринимать этот многогранник как граф. Нам нужно получить какую-то оценку с количеством его рёбер, поэтому логично пытаться оценивать суммы степеней вершин. Давайте рассмотрим произвольную вершину. Какую оценку сверху можно написать на сумму степеней всех смежных с ней вершин?
Подсказка 2
Эта сумма m_1+...+m_k не больше Р+Т, потому что мы могли максимум Т рёбер посчитать дважды.
Подсказка 3
Но нам нужен корень из Р+Т, его можно получить с помощью неравенства о средних. Как его применить?
Подсказка 4
Применим неравенство между средним квадратическим и средним арифметическим для набора sqrt(m_1), ..., sqrt(m_k).
Подсказка 5
Итак, мы получили неравенство, которое удобно переписать в виде sqrt(m_1/k)+...+sqrt(m_k/k)<=sqrt(Р+Т). Теперь давайте рассмотрим все пары вершин. Пусть степени некоторых двух равны x и y. Тогда sqrt(x/y)+sqrt(y/x)>=2. Теперь осталось...
Подсказка 6
Сложить данные неравенства по всем парам вершин, использовать неравенство, которое мы получили выше, и мы получим требуемую оценку.
Степенью вершины многогранника называется количество исходящих из неё рёбер этого многогранника. Вершины называются смежными,
если они соединены ребром. Пусть 
- произвольная вершина многогранника, 
- её степень, 
- степени всех смежных с ней вершин
(
занумерованных в произвольном порядке. Тогда 
- это количество всех рёбер, исходящих из смежных
с 
вершин, учтенных один или два раза, причём дважды учтены те и только те рёбра, которые лежат против вершины 
в некоторой
треугольной грани многогранника. Значит, 
Отсюда, используя известное неравенство между средним
арифметическим и средним квадратическим, получаем
Следовательно,
Обозначим сумму в левой части последнего неравенства за 
Пусть 
- все вершины многогранника, занумерованные в
произвольном порядке, а 
- их соответственные степени 
Для любой пары смежных вершин 
и 
по неравенству
между средним арифметическим и средним геометрическим выполнено неравенство
Складывая эти неравенства по всем неупорядоченным парам 
смежных вершин многогранника, получаем
По доказанному выше неравенству 
отсюда следует требуемая оценка.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
