Алгебраические текстовые задачи на ММО

Заметим, что каждое из чисел от до встречается ровно раза: один раз оно записано синим карандашом и один — красным. Предположим, что среди чисел нет какого-то числа Тогда синее и красное находятся среди

Сотрём все красные числа — остались синие от до записанные в порядке возрастания, и среди них есть синее До него записаны числа от до то есть ровно число.

Сотрём все синие числа — остались красные от до записанные в порядке убывания, и среди них есть красное До него записаны числа от до то есть ровно чисел.

Тогда до первого записано не более чисел. Но так как первое n записано среди чисел то до записано как минимум чисел. Противоречие.

Значит, предположение было неверным, и среди чисел есть все числа от до