Алгебраические текстовые задачи на ММО
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Некоторые из чисел 
написаны синим карандашом, а остальные — красным. Если стереть все красные числа, то останутся
все натуральные числа от 
до 
записанные в порядке возрастания. Если же стереть все синие числа, то останутся все натуральные
числа от 
до 
записанные в порядке убывания. Докажите, что среди чисел 
содержатся все натуральные числа от 
до 
включительно.
Подсказка 1
Нужно доказать, что среди первых 100 чисел есть все числа от 1 до 100. Очень много чисел… Может можно доказать в общем случае, что какое-то число n есть среди первых 100?
Подсказка 2
А что будет, если этого числа n нет среди первых 100?
Подсказка 3
Ага, n будет где-то среди последних 100! Но при этом есть синие числа от 1 до 100, и красные числа от 1 до 100, то есть оба n находятся среди последних 100 чисел. Теперь надо бы найти противоречие, а его можно искать в количестве чисел до наших n: не зря же мы все n поместили во вторую половину чисел!
Подсказка 4
Сколько синих чисел до синего n? А до красного?
Подсказка 5
Оцените количество чисел до первого n с двух сторон: с одной стороны оно не превышает количества синих + количества красных до n, а с другой стороны первое n стоит хотя бы на 101 месте, тогда их больше чем…
Подсказка 6
Увидели противоречие? Тогда любое n от 1 до 100 находится среди первых 100, а значит мы доказали утверждение!
Заметим, что каждое из чисел от 
до 
встречается ровно 
раза: один раз оно записано синим карандашом и один — красным.
Предположим, что среди чисел 
нет какого-то числа 
Тогда синее 
и красное 
находятся среди
Сотрём все красные числа — остались синие от 
до 
записанные в порядке возрастания, и среди них есть синее 
До него
записаны числа от 
до 
то есть ровно 
число.
Сотрём все синие числа — остались красные от 
до 
записанные в порядке убывания, и среди них есть красное 
До него
записаны числа от 
до 
то есть ровно 
чисел.
Тогда до первого 
записано не более 
чисел. Но так как первое n записано среди чисел 
то до
записано как минимум 
чисел. Противоречие.
Значит, предположение было неверным, и среди чисел 
есть все числа от 
до 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
