Алгебраические текстовые задачи на ММО
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В коллекции Алика есть два типа предметов: значки и браслеты. Значков больше, чем браслетов. Алик заметил, что если он увеличит количество браслетов в некоторое (не обязательно целое) число раз, не изменив количества значков, то в его коллекции будет 100 предметов. А если, наоборот, он увеличит в это же число раз первоначальное количество значков, оставив прежним количество браслетов, то у него будет 101 предмет. Сколько значков и сколько браслетов могло быть в коллекции Алика?
Источники:
Подсказка 1
При решении подобных задач в первую очередь стоит попробовать составить систему уравнений. Так, пусть значков было х, брелков - y, и мы увеличиваем в n раз. При этом структура уравнений в полученной системе очень схожа - одни и те же переменные, справа числа, только коэффициенты меняются местами. Как лучше всего такие системы преобразовывать?
Подсказка 2
Кажется, удобно будет сложить эти уравнения и вычесть первое из второго (чтобы справа осталось положительное число), а потом сгруппировать по скобкам. Теперь у нас в обоих уравнениях справа числа, а слева две скобки - при том n есть только в одной из них. Дальше в ответе оно не используется, может, стоит как-нибудь избавиться от n? Но раскрывать скобки и выносить как-то неудобно, может, есть ещё способы?
Подсказка 3
Да, можем выразить а-1 и а+1, поделив выражения на них, а затем сложить - полученное выражение равно двойке. Теперь в уравнении только x, y и натуральные числа. так как x y тоже натуральные, будет удобно привести уравнение их к виду "произведение скобок = число" - тогда мы получим конечное число вариантов значений скобок. Остаётся только подставить эти значения и проверить, возможны ли они
Пусть у Алика 
значков и 
браслетов, а увеличение происходит в 
раз. Тогда получаем систему
Складывая эти уравнения и вычитая первое из второго, приводим систему к виду
Исключая 
получаем
Это уравнение преобразуем к виду
где 
— натуральные числа.
Случай 
противоречит условию, что значков больше, чем браслетов. Если же 
то
что невозможно, поскольку по условию в коллекции присутствуют предметы обоих типов. Поэтому возможны два
случая:
- 1.
-
тогда 
- 2.
-
тогда 
34 значка и 33 браслета или 66 значков и 33 браслета
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
