Тема . ММО (Московская математическая олимпиада)

Функции на ММО

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела ммо (московская математическая олимпиада)
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#106714

Для заданных значений a,b,c  и d  оказалось, что графики функций y = 2a+-1-
       x−b  и y = 2c+-1-
       x−d  имеют ровно одну общую точку. Докажите, что графики функций        -1-
y = 2b+ x− a  и       -1-
y = 2d +x−c  также имеют ровно одну общую точку.

Источники: ММО - 2012, первый день, 11.2(см. mmo.mccme.ru)

Показать доказательство

Графики функций y = 2a +-1
      x−b  и y =2c+ -1-
       x−d  центрально-симметричны относительно точки с координатами ((b+ d)∕2,a +c)  и, следовательно, имеют ровно одну общую точку тогда и только тогда, когда

     1         1
2a+ x−-b = 2c+x-− d = a+c

при x= b+2d.  Это условие эквивалентно равенству (a − c)× (b− d)=2.  Аналогично доказывается, что это равенство также эквивалентно тому условию, что центрально-симметричные относительно точки с координатами ((a+ c)∕2,b+d)  графики функций y =2b+ x1−a  и y = 2d+ x1−c  имеют ровно одну общую точку.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!