Функции на ММО
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Назовём подмножество 
плоскости похожим на прямую, если для некоторой прямой 
той же плоскости найдётся такое взаимно
однозначное соответствие 
что для всяких двух точек 
на прямой 
длина отрезка 
отличается от длины отрезка
не более, чем на 
Верно ли, что любое подмножество плоскости, похожее на прямую, лежит между некоторыми двумя
параллельными прямыми?
Источники:
Подсказка 1
Подумайте, что означает: «расстояние между любыми двумя точками меняется не больше, чем на 1». Поставьте две близкие точки на прямой l, а затем посмотрите на их образы в A. Чем «плавнее» ведёт себя множество, тем легче будет уложиться в это ограничение.
Подсказка 2
Чтобы опровергнуть утверждение задачи, достаточно одного множества, которое удовлетворяет условию «похожа на прямую», но не помещается между двумя параллельными прямыми. Идея: график не слишком быстро растущей функции.
Подсказка 3
Рассмотрите график функции вида y=√x (или той же, но на всей оси через y=√|x|.)
Подсказка 4
Выберите две точки (x,√x) и (y,√y). Напишите формулу для расстояния между ними и сравните её с (y-x). Оценки покажут, что разница действительно может быть ≤ 1. Проверьте, помещается ли такой график между параллельными прямыми.
Подсказка 5
Запишите уравнения двух произвольных параллельных линий y=kx+b₁ и y=kx+b₂ при b₁<b₂. Можно ли подобрать достаточно большое x, чтобы точка (x,√x) оказалась выше верхней прямой? Подумайте, как растёт √x по сравнению с любой прямой kx.
Подсказка 6
Любая функция, растущая медленнее линейной, рано или поздно «вырвется» из-под любой заданной пары параллельных прямых. Используйте это наблюдение, чтобы окончательно убедиться, что утверждение в задаче неверно.
Приведём контрпример. Возьмём в качестве 
ось абсцисс, а в качестве множества 
— график функции 
Докажем, что
отображение 
удовлетворяет условию.
Достаточно проверить, что для произвольных 
выполнены неравенства
Неравенство 
верно, поскольку
Обоснуем неравенство 
Возводя его в квадрат и сокращая слагаемое 
получаем, что достаточно доказать
неравенство
1)Если 
то
2)Если 
то
3) Если 
то заметим, что при замене 
на 
и 
на 
левая и правая части доказываемого неравенства не меняются,
и справедливо рассуждение пункта 
Таким образом, неравенства 
и 
верны для произвольных 
Остаётся показать, что график функции 
не лежит между никакими двумя параллельными прямыми. Предположим
противное: график функции 
лежит между параллельными прямыми 
и 
Прямые 
и 
не могут быть
вертикальными или горизонтальными, поскольку на графике 
есть точки со сколь угодно большими абсциссами и
ординатами.
Предположим теперь, что прямые 
и 
задаются уравнениями 
причём 
Рассмотрим точку с
координатами 
Эта точка лежит на графике 
и имеет неотрицательную ординату.
С другой стороны,
поэтому данная точка не лежит между прямыми 
и 
Противоречие.
Нет, неверно
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
