Функции на ММО

Рассмотрим случай, когда числа и имеют один знак. В этом случае Пусть Тогда и Отсюда получаем, что а в точке функция принимает либо своё наибольшее значение либо своё наименьшее значение Значит, точка является точкой экстремума для функции и Имеем

Следовательно, Учитывая равенство получаем, что возможны лишь два варианта или

Рассмотрим теперь случай, когда числа и имеют разные знаки. В этом случае Пусть Тогда и Отсюда получаем, что а в точке функция принимает либо своё наибольшее значение либо своё наименьшее значение Значит, точка является точкой экстремума функции и Имеем:

Следовательно, Учитывая равенство получаем, что возможны лишь два варианта: или

Проверим, что четыре найденные пары значений удовлетворяют условию задачи. Действительно, Функция принимает свои наибольшее и наименьшее значения в таких точках для которых Найдём такие точки Имеем:

где знак в скобках выбирается положительным, если и одного знака, и отрицательным иначе. Следовательно, во всех точках экстремума функции имеем Значит, при таких выполнено также равенство Отсюда и либо либо В первом случае во втором и

Таким образом, во всех точках экстремума функции а следовательно, и во всех вообще точках имеем