Тема . ММО (Московская математическая олимпиада)

Последовательности и прогрессии на ММО

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела ммо (московская математическая олимпиада)
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#106715

Найдите все значения a,  для которых найдутся такие x,  y  и z,  что числа cosx,  cosy  и cosz  попарно различны и образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию, при этом числа cos(x+ a),  cos(y +a)  и cos(z+ a)  также образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию.

Источники: ММО - 2014, первый день, 11.2(см. mmo.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Числа cos(x +a),cos(y +a),cos(z+ a)  образуют арифметическую прогрессию, значит,

2cos(y+ a)= cos(x +a)+ cos(z +a)

2cosy cosa− 2sinysin a=

= cosx cosa− sinxsin a+coszcosa − sinz sina

(2cosy− cosx − cosz)cosa= (2siny− sinx− sinz)sina

По условию числа cosx,cosy,cosz  также образуют арифметическую прогрессию, значит, 2cosy = cosx+ cosz  и поэтому левая часть этого равенства равна нулю. Следовательно, либо sina =0  и a =πk,k∈ ℤ,  либо 2siny =sin x+sinz,  т.е. числа sinx,sin y,sinz  также образуют арифметическую прогрессию. Но в последнем случае точка с координатами (cosy,siny)  является серединой отрезка с концами в точках (cosx,sinx),(cosz,sinz)  и при этом все три точки лежат на единичной окружности с центром в начале координат, что невозможно. Для a= πk,  где k∈ ℤ,  подходящим примером являются числа x =0,y = π∕2,z = π.

Ответ:

 a =πk,k∈ ℤ

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!