Последовательности и прогрессии на ММО
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана последовательность 
для всех натуральных 
Найдите сумму первых 
членов этой
последовательности.
Источники:
Подсказка 1
Выглядит наша последовательность сложно, но явно намекает на разложение или замену. А нельзя ли n² - 2025n + 1 как-то переписать через факториалы? Попробуйте раскрыть скобки и посмотреть, не получится ли что-то телескопическое.
Подсказка 2
Хм, а если представить n² - 2025n как (n + 1)(n + 2) минус что-то? Тогда n! умножится на скобки, и может получиться разность факториалов. Как бы это оформить?
Подсказка 3
Окей, допустим, мы разложили аₙ в сумму вида (n + 2)! - (n + 1)! - 2027 • (n + 1)! + 2027 • n!. Теперь посмотрим на сумму а₁+ a₂+ … + a₂₀₂₅. Почти все слагаемые должны сократиться! Что останется в конце?
Первое решение.
Представим 
в виде
Тогда получаем
Второе решение.
Перейдём к более общей задаче: будем рассматривать последовательности 
где k — фиксированное натуральное
число, а 
— номер члена последовательности, и искать сумму первых 
членов таких последовательностей.
При 
получаем, что сумма равна 
При 
получаем, что сумма равна 
Аналогично можно получить, что при 
сумма
равна 
. Возникающую гипотезу о том, что при произвольном 
искомая сумма равна 
нужно строго доказать. Это можно сделать
методом математической индукции.
База индукции уже проверена. Из предположения о том, что
требуется вывести
Заметим, что
Следовательно,
Что и требовалось доказать.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
