Тема . ММО (Московская математическая олимпиада)

Последовательности и прогрессии на ММО

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела ммо (московская математическая олимпиада)
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#91361

По целому числу a  построим последовательность

a1 =a, a2 =1 +a1, a3 = 1+ a1a2, a4 =1+ a1a2a3, ...

(каждое следующее число на 1 превосходит произведение всех предыдущих). Докажите, что разности её соседних членов (an+1 − an)  - квадраты целых чисел.

Показать доказательство

Посчитаем первые разности

a2− a1 = 1

a − a = (1+a)a− a= a2
3   2

a4− a3 =(1+ a)a(a2+a +1)− a(1+ a)= a2(1+ a)2

Докажем, что an+1− an = ∏n−i=11ai  . Заметим, что

an+1− an = a1...an−1(an− 1) =(a1...an−1)2

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!