Клетчатые задачи на Курчатове

Сначала покажем, что не подойдет. Разделим таблицу на четыре квадрата Правый верхний квадрат заполним числами а левый нижний - числами Остальные клетки заполним нулями. Легко видеть, что в каждой строке и в каждом столбце сумма равна

Теперь покажем, что подходит. Предположим, что для некоторой таблицы это не так, то есть суммы во всех её строках и столбцах оказались либо больше либо меньше Заметим, что можно менять местами строки в таблице, не нарушая это свойство и условие задачи.

Поменяем местами строки так, чтобы их суммы убывали сверху вниз. Разделим таблицу на две половины верхнюю и нижнюю. Заметим, что либо в верхней половине все строки имеют положительную сумму, либо в нижней - все отрицательную. Тогда в одной из половин сумма по модулю больше Так как общая сумма всех чисел равна нулю, то в другой половине сумма такая же по модулю и противоположная по знаку.

Теперь отсортируем столбцы так, чтобы их суммы убывали слева направо. (Суммы в строках при этом не поменяются.) Аналогично, суммы в правой и в левой половине таблицы оказались по модулю больше

Разобьем таблицу на четыре квадрата суммы в них обозначим за

Заметим, что

Это означает, что одно из чисел или по модулю превосходит Но в каждом из соответствующих квадратов всего клеток, и числа в них по модулю не превосходят Противоречие.