Теория чисел на Курчатове (с комбинаторными элементами)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть ![a = [√1]+[√2]+...+[√n].
n](/api/latex-service/v1/GetSession/247959/index-af24b1c7e01e30bc2f83a67bc27f0ebb.svg)
Докажите, что среди элементов последовательности 
есть лишь конечное количество простых
чисел, и найдите наибольшее из них.
Источники:
Подсказка 1:
Пусть k — наибольше целое число такое, что k² ≤ n. Значит, n < (k+1)². Ясно, что [√n] = k. Вас это ни на что не наталкивает?
Подсказка 2:
А давайте представим n как k² + t. Но ведь мы же тогда можем вычислить n-й член, используя переменные k и t, потому что t+1 последних слагаемых равны k, следующие k² - (k-1)² слагаемых равны k-1 и так дальше.
Подсказка 3:
Осталось лишь внимательно посмотреть на выражение и заметить, что при k больших некоторого числа оно будет иметь определённый делитель.
Пусть 
— натуральное и 
Тогда ![[√n]= k.](/api/latex-service/v1/GetSession/249541/index-9e595c1bff6d20bf115d4d2c1530a8fc.svg)
Значит, ![[√n-]](/api/latex-service/v1/GetSession/249541/index-2b70eedebeb7e25cffb7639c76dd16a0.svg)
принимает фиксированное значение, равное 
пока 
пробегает отрезок ![2 2
[k ,(k +1) − 1],](/api/latex-service/v1/GetSession/249541/index-a68077baea2b764914bd4974a99d42bf.svg)
длина которого равна 
Значит, если 
где 
то
Заметим, что дробь 
принимает целые значения при натуральных 
Если множитель 
в числителе этой дроби не
сокращается полностью со знаменателем, то данная дробь не взаимно проста с числом 
(у них обоих есть общий делитель, входящий
в 
и не сократившийся после деления на 
Ясно, что при 
такой множитель заведомо останется. Поэтому 
и
Значит, при 
все числа 
составные.
При 
получаем формулу 
где 
При 
находим 
а при 
получаем
— простое. Таким образом, наибольшее простое число в последовательности 
равно 
и соответствует индексу
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
