Теория чисел на Курчатове (с комбинаторными элементами)

Подсказка 1

Давайте попробует разделить числа по некоторым признакам и доказывать, что одно семейство представимо, а другое — нет.

Подсказка 2

Заметим, что 1 не представляется в таком виде. А как насчёт остальных нечётных чисел?

Подсказка 3

Вспомните, что нечётные натуральные числа — это числа вида 1+2k, где k — натуральное или 0.

Подсказка 4

[1,1] + [k,1] + [1,k] = 1 + 2k, следовательно, все нечётные числа, кроме 1, представимы. Какие еще множества можно выделить?

Подсказка 5

Давайте посмотрим на числа, имеющие нечётный делитель, больший 1.

Подсказка 6

А что значит "нечётный делитель, больший 1"? Какое это число?

Подсказка 7

Должен быть делитель вида 1+2k, где k — натуральное. Попробуйте подобрать такие числа, чтобы в сумме НОК-ов как раз получилось (2k+1).

Подсказка 8

Например, это можно сделать так: [2ˢ, 2ˢ] + [2ˢk, 2ˢ] + [2ˢ, 2ˢk] = 2ˢ(2k+1). То есть, все числа с нечётными делителями рассмотрены. Какие числа осталось рассмотреть?

Подсказка 9

Осталось рассмотреть степени двоек. Попробуйте придумать пример.

Подсказка 10

Вряд ли у Вас получилось. (: Давайте пойдем от противного: предположим, что 2ᵗ представимо. Может, выберем какое-то определенное t для удобства?

Подсказка 11

Выберем наименьшее t. Какими могут быть числа a, b и c?

Подсказка 12

Можно считать, что среди этих чисел есть нечётные, иначе мы бы могли сократить их на 2 и уменьшить минимальное t.

Подсказка 13

Пусть числа a, b — четные, а с — нечетное. Тогда a = 2ᵐa₁, b = 2ⁿb₁, где a₁ и b₁ — нечётные. Давайте попробуем оценить степени вхождения двойки в каждое из слагаемых представления.

Подсказка 14

Рассмотрите возможные отношения между m и n и получите противоречия с величиной t.