Теория чисел на Курчатове (с комбинаторными элементами)
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все пары натуральных чисел 
и 
, таких что отношение 
является простым числом.
Источники:
Подсказка 1
Работать с дробью — неудобно. Давайте обозначим нашу дробь xy³/(x + y) за p, где p — простое число. Что тогда можно сказать?
Подсказка 2
Верно! xy³ = p(x+y). Это уже более приятный вид. Правая часть делиться на p, что тогда можно сказать про множители левой части?
Подсказка 3
Точно! Либо x делится на p, либо y делится на p. Случаи, разумеется, разные. Начнём со второго, он выглядит интереснее. Вновь обозначим y за mp, где m — натуральное, чтобы было удобнее вести рассуждения. Что имеем?
Подсказка 4
xm³p² = x + mp. Что-то подсказывает, что левая часть прилично больше правой (не забывайте, что p ≥ 2). Попробуйте это доказать самостоятельно! А мы пока перейдём ко второму случаю. Теперь x = kp, k — натуральное. Преобразуйте исходное равенство...
Подсказка 5
Получите, что k(y³-p) = y. Докажите, что y³-p может быть либо 1, либо p (для этого предположите, что у этого числа есть делитель, отличный от p, и придите к противоречию). Осталось разобрать пару лёгких случаев.
Подсказка 6
Если y³ - p = 1, то p = (y-1)(y² + y + 1), отсюда находим y, пользуясь простотой p, а дальше и x. Во втором случае вам помогут степени вхождения простых. У вас всё получится! Успехов!
Пусть 
где 
— простое число. Это означает, что одно из чисел 
и 
делится на 
Разберем оба
случая.
Предположим для начала, что 
Тогда 
Но, поскольку 
мы можем написать цепочку
неравенств
Перейдём к случаю 
После преобразований получаем равенство 
Если 
для какого-то натурального
числа 
то 
и, следовательно, 
то есть 
или 
В качестве 
можно взять само число 
Получаем, что либо
что, очевидно, невозможно, так как в 
все простые сомножители входят хотя бы в третьей степени; либо 
В
последнем случае получаем, что
и, так как 
— простое число, необходимо 
Тогда 
и 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
