Теория чисел на Курчатове (с комбинаторными элементами)

Первое решение.

По условию число имеет вид где — нечётное. Заметим, что любому нечётному делителю числа взаимнооднозначно соответствует группа чётных делителей

Тогда если обозначить Митину сумму через то Ванина сумма примет вид

Если перемножить суммы, то мы получим

Теперь видно, что вопрос задачи сводится к тому, может ли быть квадратом число вида Очевидно, что нет, потому что оно делится на но не делится на

Второе решение.

Разложим число из условия по основной теореме арифметике

Из такого представления известно, что сумма всех делителей числа равна

При этом это является суммой всех нечётных делителей Для получения суммы только чётных делителей формула принимает вид

В итоге произведение сумм равно однако легко видеть, что в левую часть двойка входит в нечётной степени, потому сумма не может быть точным квадратом.

За выражение произведения в виде S² * (2 + 2² + … + 2^k) – не менее 2 баллов.