Теория чисел на Курчатове (с комбинаторными элементами)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Натуральное число 
назовём интересным, если существует натуральное число 
такое, что:
;
- разность чисел
и 
— простое число;
- произведение чисел
и 
— точный квадрат.
Найдите все интересные числа, большие 200 и меньшие 400.
Источники:
Подсказка 1
Заметим сразу, что если A-B = p - простому числу, то НОД(A, B) либо 1, либо p. Попробуйте понять, что случай с НОДом равным p - невозможен из-за второго условия)
Подсказка 2
Окей, теперь у нас НОД = 1. Но тогда раз произведение этих чисел - точный квадрат, то что можно сказать про сами числа?
Подсказка 3
Что они сами являются квадратами! А теперь давайте вернемся к тому, что разность этих чисел - простое число. Эти же числа являются квадратами. А разность квадратов хорошо раскладывается на произведение) Что можно отсюда выяснить?
Подсказка 4
Если разложить разность квадратов как (a-b)(a+b), то станет понятно, что она может быть равна простому числу только если a-b = 1. Получается, A и B - просто последовательные квадраты) Остался небольшой перебор и все значения найдены!
Пусть 
— простое число. По условию 
для некоторого натурального 
Заметим, что НОД чисел 
и
делит их разность, равную 
поэтому он равен либо 
либо 1. Разберём два случая.
- Предположим,
Тогда 
и 
для некоторого натурального 
Тогда
т.е. 
Отсюда следует, что 
делится на 
поэтому 
—
точный квадрат. Но 
т. е. число 
находится между двумя последовательными точными
квадратами, поэтому само не может быть точным квадратом. Противоречие.
-
Предположим,
Произведение взаимно простых чисел 
и 
является точным квадратом тогда
и только тогда, когда сами числа 
и 
являются точными квадратами. Тогда 
и 
для некоторых натуральных 
откуда следует, что 
Из того, что произведение
натуральных чисел 
и 
равно простому числу 
следует, что 
и 
Тогда 
и
поэтому 
и 
Поскольку число 
является простым, получаем несколько случаев:
- Если
то 
— не подходит под условие задачи.
- Если
то 
и 
— подходит под условие задачи.
- Если
то 
и 
— подходит под условие задачи.
- Если
то 
и 
— подходит под условие задачи.
- Если
то 
— не подходит под условие задачи.
- Если
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
