Теория чисел на Курчатове (с комбинаторными элементами)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все такие пары натуральных чисел и
, что
делится на
.
Источники:
Подсказка 1
Сначала не очень понятно, каким должно быть n. Нам интересно именно n, так как оно фиксировано и его степень не меняется. Тогда попробуем понять что-то про n. Для этого посмотрим на выражение, если мы поменяем степень у m.
Подсказка 2
Да, если как-то уменьшать степень у m, то это не особо и меняет картину. А если посмотреть на m + n, при условии, что оно делится на mn? Возможно, отсюда получится вывести общий вид n?
Подсказка 3
Верно, можно действовать по индукции! Причем, индукция будет по степени числа m. Из индукции ясно, что n = km²⁰¹⁹. Остаётся разобраться с тем, каким может быть k
Подсказка 4
Да, k+1 должно делиться на km, из условия задачи. Получается, вариантов не так уж и много, ведь k+1 должно делиться на k, а это возможно только при k = 1.
Индукцией по покажем, что если
кратно
, то
представимо в виде
.
База: если делится на
, то
делится на
, из этого следует требуемое.
Переход: если кратно
, то
, то есть
кратно
, а по предположению
, откуда
.
Теперь, возвращаясь к задаче, имеем: . Тогда условие можно записать в виде:
кратно
. Таким
образом,
делится на
, это возможно лишь при
и
или
, откуда подходят
или
.
или
Специальные программы

Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!