Стереометрия на Курчатове
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
— правильная четырёхугольная пирамида с основанием 
На отрезке 
нашлась точка 
такая, что
и плоскости 
и 
перпендикулярны. Найдите отношение 
.
Источники:
Подсказка 1
У нас точка M равноудалена от точек A и B. Быть может, попробуем найти ещё такие точки? Какое дополнительное построение может помочь найти все такие точки?
Подсказка 2
Постройте сечение плоскостью, являющейся серединным перпендикуляром к SB. Заодно и середину R у SB отметим, вдруг пригодится;) Какие точки и прямые туда попадут?
Подсказка 3
Именно, AC полностью лежит в построенной плоскости! Значит, теперь нам удобно работать со многими интересными треугольниками, которые лежат в этой же плоскости. Нам нужно найти некоторое отношение на AC, никаких длин нам не дано, поэтому имеем право обозначить AO за 1. Какие тогда отрезки мы можем посчитать?
Подсказка 4
AO = SO = 1, а OR — медиана в прямоугольном треугольнике, значит, можем посчитать и её ;) а что ещё можно сказать про R? в каких плоскостях она лежит, что примечательного есть в них?
Подсказка 5
RM перпендикулярна плоскости (SAB)! Тогда у нас возникли ещё прямоугольные треугольники, в которых также можно посчитать отрезки ;)
Обозначим центр основания 
за 
Тогда 
и 
откуда 
Это означает, что серединный перпендикуляр к отрезку 
(это плоскость,
обозначим её за 
) параллелен 
С другой стороны, из 
следует, что точка 
лежит в 
Тогда и вся прямая 
должна содержаться в 
Отсюда получаем 
Середину 
обозначим за 
. Заметим, что 
лежит сразу в двух плоскостях, перпендикулярных 
: 
и 
Это
означает, что 
и сам перпендикулярен плоскости 
а также отрезку 
Примем длину 
за 
Тогда 
является медианой в прямоугольном равнобедренном треугольнике
; так как катеты этого треугольника равны по 
имеем 
.
Наконец, рассмотрим сечение тетраэдра плоскостью 
Треугольник 
прямоугольный, причём 
в нём — высота к гипотенузе. Имеем 
, то есть 
,
откуда 
. Получаем 
и 
.
Замечание.
Утверждение о том, что боковое ребро пирамиды перпендикулярно скрещивающейся с ним диагонали, считается очевидным; за отсутствие его доказательства баллы не снижаются.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
