Стереометрия на Курчатове

Обозначим центр основания за

Тогда и откуда Это означает, что серединный перпендикуляр к отрезку (это плоскость, обозначим её за ) параллелен С другой стороны, из следует, что точка лежит в Тогда и вся прямая должна содержаться в Отсюда получаем

Середину обозначим за . Заметим, что лежит сразу в двух плоскостях, перпендикулярных : и Это означает, что и сам перпендикулярен плоскости а также отрезку

Примем длину за Тогда является медианой в прямоугольном равнобедренном треугольнике ; так как катеты этого треугольника равны по имеем .

Наконец, рассмотрим сечение тетраэдра плоскостью

Треугольник прямоугольный, причём в нём — высота к гипотенузе. Имеем , то есть , откуда . Получаем и .

Замечание.

Утверждение о том, что боковое ребро пирамиды перпендикулярно скрещивающейся с ним диагонали, считается очевидным; за отсутствие его доказательства баллы не снижаются.