Теория чисел на Всесибе
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти все натуральные числа такие, что для любого целого числа
существуют
целых чисел
таких, что
и
Среди чисел
могут быть совпадающие.
Источники:
Подсказка 1
Давайте попробуем пойти снизу-вверх. Что, если n = 3?
Подсказка 2
Попробуйте обозначить x₁, x₂ и x₃. Какими должны быть это обозначения, чтобы x₁ + x₂ + x₃ = 0?
Подсказка 3
Например, x₃ = - x₁ - x₂.
Подсказка 4
Попробуйте посмотреть на остатки от деления.
Подсказка 5
Быть может, с n = 4 нам подойдут аналогичные иксы?
Подсказка 6
Попробуйте увидеть полный квадрат.
Подсказка 7
Кажется, что с n = 5 противоречий не находится. Может, стоит попробовать придумать пример в общем виде?
Подсказка 8
Нам бы хотелось, чтобы сумма попарных произведений по циклу равнялась -m... То есть, вероятно, m должно быть среди иксов.
Подсказка 9
А давайте вспомним пример для n = 3.
Подсказка 10
Чтобы он работал и для n = 4, можно, например, докинуть 0.
Подсказка 11
А можем ли мы при помощи 0 доказать, что и для n ≥ 5 условия выполняются?
Пусть
Положим тогда
Из последнего равенства следует, что остаток от деления числа на 3 совпадает с остатком от деления
на 3, а он может быть
равен только 0 и 1. Следовательно, числа
для всех
дающих при делении на 3 остаток 2, не могут быть представлены требуемым в
условии образом, поэтому
не подходит.
Пусть
Положим Тогда
Следовательно, в требуемом в условии виде представляются только те числа для которых
является точным квадратом,
поэтому случай
тоже нам не подходит.
Пусть
Для произвольного рассмотрим
целых чисел:
Их сумма равна 0, а сумма попарных проиведений по циклу равна следовательно, любое
удовлетворяет условию
задачи.
Специальные программы

Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!