Тема . Всесиб (Всесибирская открытая олимпиада школьников)

Теория чисел на Всесибе

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела всесиб (всесибирская открытая олимпиада школьников)
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#126313

Найти все натуральные числа n ≥3  такие, что для любого целого числа m ≥0  существуют n  целых чисел x,...,x
1     n  таких, что x1+ ⋅⋅⋅+ xn = 0  и x1x2+ x2x3+⋅⋅⋅+  xn−1xn+ xnx1 = −m.  Среди чисел x1,...,xn  могут быть совпадающие.

Источники: Всесиб - 2025, 10.4 ( см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем пойти снизу-вверх. Что, если n = 3?

Подсказка 2

Попробуйте обозначить x₁, x₂ и x₃. Какими должны быть это обозначения, чтобы x₁ + x₂ + x₃ = 0?

Подсказка 3

Например, x₃ = - x₁ - x₂.

Подсказка 4

Попробуйте посмотреть на остатки от деления.

Подсказка 5

Быть может, с n = 4 нам подойдут аналогичные иксы?

Подсказка 6

Попробуйте увидеть полный квадрат.

Подсказка 7

Кажется, что с n = 5 противоречий не находится. Может, стоит попробовать придумать пример в общем виде?

Подсказка 8

Нам бы хотелось, чтобы сумма попарных произведений по циклу равнялась -m... То есть, вероятно, m должно быть среди иксов.

Подсказка 9

А давайте вспомним пример для n = 3.

Подсказка 10

Чтобы он работал и для n = 4, можно, например, докинуть 0.

Подсказка 11

А можем ли мы при помощи 0 доказать, что и для n ≥ 5 условия выполняются?

Показать ответ и решение

Пусть n =3.

Положим x1 = a,x2 =b,x3 = −a− b,  тогда

x1x2+ x2x3+ x3x1 =ab− b(a +b)− a(a+ b) =

    2   2
= −a − b − ab= −m

m = a2+ b2+ ab= (a − b)2+3ab

Из последнего равенства следует, что остаток от деления числа m  на 3 совпадает с остатком от деления (a − b)2  на 3, а он может быть равен только 0 и 1. Следовательно, числа − m  для всех m,  дающих при делении на 3 остаток 2, не могут быть представлены требуемым в условии образом, поэтому n =3  не подходит.

Пусть n= 4.

Положим x1 = a,x2 =b,x3 = c,x4 = d= −a − b− c.  Тогда

ab+bc+ cd +da= (a+c)(b+ d)=

=− (a +c)2 =− m

m =(a+ c)2

Следовательно, в требуемом в условии виде представляются только те числа − m,  для которых m  является точным квадратом, поэтому случай n = 4  тоже нам не подходит.

Пусть n≥ 5

Для произвольного m ≥ 0  рассмотрим n  целых чисел:

{− m;1;0;m − 1;0;0;...;0}

Их сумма равна 0, а сумма попарных проиведений по циклу равна − m,  следовательно, любое n≥ 5  удовлетворяет условию задачи.

Ответ:

 n ≥5

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!