Теория чисел на Всесибе
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Десятичная запись натурального числа 
содержит каждую цифру от 0 до 9 ровно один раз. Обозначим через 
сумму пяти двузначных
чисел, составленных из первой и второй, третьей и четвёртой
девятой и десятой цифр 
, а через 
— сумму четырёх двузначных
чисел, составленных из второй и третьей, четвёртой и пятой
восьмой и девятой цифр 
Оказалось, что 
равно 
может ли 
начинаться с чётной цифры?
Источники:
Подсказка 1
Распишем условие с помощью десятичной записи чисел. Какое уравнение на числа A и B у нас получится и что из него будет следовать?
Подсказка 2
Понимаем, что сумма первой и последней цифры числа делится на 9! Какой тогда может быть их сумма? Как найти связь между цифрами на четных позициях и на нечетных?
Подсказка 3
Подставляем в наше уравнение из подсказки 1 сумму первой и последней цифры, которая равна 9(почему?). Теперь мы можем найти связь между суммами цифр на четных позициях и на нечетных, а также мы знаем сумму всех цифр. Остаётся лишь осознать, как это применить)
Пусть 
где 
— некоторая перестановка чисел 
Тогда
Если 
то
Отсюда следует, что 
делится на 9.
Одна из двух различных цифр 
ненулевая, поэтому
Значит,
Вспомним, что 
— некоторая перестановка чисел 
поэтому сумма всех цифр 
равна 
— нечётна. Тогда
Следовательно, цифра 
чётна, а цифра 
— нечётная цифра.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
