Тема Всесиб (Всесибирская открытая олимпиада школьников)

Неравенства на Всесибе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела всесиб (всесибирская открытая олимпиада школьников)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#119869

Доказать, что для всех положительных действительных чисел $a$ и $b$ выполнено неравенство:

a(a-+1) b(b+-1) b+ 1 + a+ 1 ≥ a+ b

Источники: Всесиб-2025, 11.2(см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Эта задача не подразумевает никаких хитрых манипуляций. Всё, что нужно — перенести всё в левую часть и привести к общему знаменателю. Попробуйте разложить числитель и знаменатель на скобочки!

Показать доказательство

Покажем, что

a(a+ 1) b(b+1) --b+1- − a +-a-+1 − b≥ 0

Заметим, что

2 a(a+1)− a+ b(b+-1)− b= (a-− b)(a+-b+-1) b+ 1 a+ 1 (a+ 1)(b+ 1)

Очевидно, что при $a,b>0$ выполняется неравенство

(a−-b)2(a+-b+1)≥ 0 (a+ 1)(b+1)

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#71448

Доказать, что для любых действительных чисел $x,y,z$ из интервала $[0,1]$ выполнено неравенство

x+-y x+-z y-+z 2+ z + 2+ y + 2 +x ≤2

Источники: Всесиб-2022, 11.5 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Доказать классическое неравенство существует достаточно способов, но при переменных, заданных промежутком, можно отдельно пооценивать разные части выражения.

Подсказка 2

Рассмотрим первую дробь: в ее числителе сумма двух переменных, не превосходящих единицу, следовательно, их сумма не превосходит 2.

Подсказка 3

Перейдем к знаменателю! Здесь тоже сумма! Ваша очередь оценивать!

Подсказка 4

Теперь дробь целиком! Числитель не больше двух, знаменатель - трёх, значит, дробь не превышает 2/3.

Подсказка 5

Аналогичная оценка работает на других слагаемых нашего выражения: если каждое из них не превосходит 2/3, то их сумма не превосходит 2!

Показать доказательство

По условию, все числа неотрицательны и не превосходят 1 следует, что их попарные суммы $x+y,x+ z,y +z$ не больше 2. Заменим в знаменателе каждой дроби левой части неравенства 2 на соответствующую сумму, от чего каждый знаменатель не увеличится и неравенство усилится. Получим:

x+ y x+ z y+ z x+ y x+ z y+ z 2(x+ y+ z) 2+-z + 2+-y + 2+-x ≤x-+y-+z +x-+z+-y +y-+z+-x =-x+y-+z-= 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#73445

Докажите, что для любого $x⁄= 0$ выполнено неравенство:

8 5 1 -1 x − x − x + x4 ≥0.

Источники: Всесиб-2021, 10.1(см. sesc.nsu.ru)

Показать доказательство

Приведём все дроби к общему знаменателю:

x12− x9− x3+1 -----x4------≥0.

Разложим числитель на множители:

(x9− 1)(x3− 1) -----x4-----≥ 0.

Знаменатель всегда положителен, потому что это чётная степень $x$ . Если $x< 1,$ то скобки числителя отрицательны, а значит их произведение положительно. Если $x ≥1,$ то скобки неотрицательны, значит их произведение тоже неотрицательно. Получили требуемое.