Комбинаторика на Всесибе: игры, графы, конструктивы

Рассмотрим некоторую команду Поделим все остальные команды на три группы — те, кого команда выиграла, те, кому проиграла, и те, с кем у ничья(группы могут быть пустыми).

Возьмём две команды и из первой группы, если в этой группе не меньше двух команд. Пусть выиграла Тогда в тройке команд и у 6 очков, у 3 очка, а у — 0, что противоречит условию о том, что для любой тройки команд найдутся две команды из этой тройки, набравшие равное число очков в играх с командами из этой тройки. Аналогично, команда не могла победить то есть между и ничья. А так как и выбраны произвольно, то можно сделать вывод, что между любыми двумя командами из первой группы ничья.

Теперь возьмём две команды и из второй группы. Если выиграла то у 0 очков, у 6 очков, а у — 3, что опять же противоречит условию. Таким образом, между любыми двумя командами из второй группы ничья.

Наконец, возьмём две команды и из третьей группы. Если выиграла то у 2 очка, у 4 очка, а у — 1, что невозможно по условию. Получается, между любыми двумя командами из третьей группы ничья.

Разобьём команды на три подгруппы так, чтобы любые две команды из одной подгруппы сыграли между собой вничью: первая подгруппа это те, кого команда выиграла, вторая — те, кому проиграла, и третья — те, с кем сыграла в ничью и сама команда Первая и вторая подгруппы могут быть пустыми, а значит, всего подгрупп не более трёх, и внутри каждой все команды сыграли вничью.