Комбинаторика на Всесибе: игры, графы, конструктивы

Докажем, что Андрей может выпить литра сока, как бы ни действовала Маша, и покажем, что Маша может ходить так, что тоже выпьет литра.

Предположим, Андрей выпил менее литров, то есть смог сделать не более ходов. Тогда Маша сделала не более ходов. Значит, на данный момент выпито не более то есть не выпито хотя бы мл сока.

С другой стороны, так как объёмы всех ёмкостей делятся на то и количество оставшегося сока в каждой упаковке делится на Если Андрей не может сделать ход, то оно не превосходит мл в каждой упаковке, но тогда сока осталось не более мл. Значит, Андрей при любых обстоятельствах сможет сделать ходов.

Докажем, что Маша тоже может выпить литра сока, как бы ни действовал Андрей. Пусть Маша ходит второй и наполняет оба стакана тем же соком, что и Андрей в свой ход. Тогда за одну пару ходов они выпивают мл из упаковки, и после ходов в этой упаковке останется мл сока, которые Андрей выпить не может, а Маша может. За хода Маша выпивала на каждом на мл меньше, чем Андрей, т.е. в итоге выпила на меньше, что компенсирует, допивая последнее из этой пачки. Таким образом, если она ходит второй, то может выпить по крайней мере половину всего.

Если она ходит первой, то пусть первым ходом выпивает из каждой пачки по мл, а затем повторяет ходы. Аналогичными рассуждениями, в каждой пачке в конце остаётся мл (если в какой-то больше, то Андрей пока ещё ходит туда), что Маша допьёт и компенсируем разницу в выпитом до нуля.

Значит, никто не может обеспечить себе победу.