Планиметрия на ПВГ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Отрезок 
лежит на прямой 
и пересекается с отрезком 
в точке 
причём 
и 
Для каких пар чисел 
и 
отрезок 
можно передвинуть по прямой 
так, чтобы в его новом положении выполнялось равенство
Источники:
Подсказка 1
С первого взгляда очень страшный сюжет, в котором придётся разбирать много случаев. Давайте начнём с самого простого. Пусть k = 1. Ого! Ведь мы тогда можем получить параллелограмм, достаточно лишь сделать (⋅)O серединой AB.
Подсказка 2
Теперь подумаем, что делать, если k ≠ 1 и m ≠ 2. Ни умаляя общности пусть m > 2. Давайте спроецируем отрезок CD на l и получим точки C' и D'. Кроме того, подвинем отрезок AB так, чтобы точки лежали в следующем порядке: A, B, C', D'. Затем удобно ввести AC = a, BD = b, CC' = c, DD' = d, AC' = x, BD' = y. Что же делать дальше? Конечно, давайте воспользуемся теоремой Пифагора! Выразим через введённые обозначения AC и BD.
Подсказка 3:
Как же доказать, что AC будет в какой-то момент равняться BD? Воспользуемся классическим приёмом: запишем разность AC и BD и посмотрим на непрерывность получившейся функции! И не забудьте, что остался ещё один случай, когда k ≠ 1 и m = 2, он не должен вызвать у вас затруднений :)
Рассмотрим 3 случая.
1) Если 
то отрезок 
достаточно расположить так, чтобы точка 
стала его серединой, а значит, четырёхугольник 
— параллелограммом.
2) Если 
и 
(случай 
рассматривается аналогично), то проекция 
отрезка 
на прямую 
имеет
длину
Передвинем отрезок 
по прямой 
так, чтобы точки 
на ней располагались в указанном порядке, и обозначим 
Тогда по теореме Пифагора имеем:
Из построения:
Тогда получаем, что величина
при неограниченном увеличении параметра 
(а с ним и 
в некотором положении отрезка 
обязательно станет
отрицательной. Аналогично, если те же точки на прямой 
расположены в порядке 
то та же величина при неограниченном
увеличении параметра 
в некотором другом положении отрезка 
обязательно станет положительной. Поэтому в
некотором промежуточном (между двумя указанными) положении отрезка 
рассматриваемая величина обязательно
обнулится.
3) Если 
и 
то в обозначениях предыдущего пункта имеем:
Так как 
то 
Значит, данная разность никогда не равна 0. Переместить 
не получится.
Если 
то 
— любое положительное число; если 
то 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
