Планиметрия на ПВГ
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Квадрат 
со стороной 
и квадрат 
со стороной 
имеют общую вершину 
при этом точка 
лежит на отрезке 
Найдите наибольшее и наименьшее возможные значения площади параллелограмма 
если точка 
лежит на отрезке 
и
делит его в отношении 
Источники:
Подсказка 1
Каждый раз, когда мы делаем картинку к задаче, следует задаться вопросом: а единственная ли эта картинка? Не допускает ли условие того, что точки могут располагаться по-разному? Подумайте, сколько случаев есть в данной задаче.
Подсказка 2
Верно, есть два варианта: когда точка F лежит вне большого квадрата и когда она лежит внутри него. Рассмотрим для начала первый случай. Какие интересные вещи мы можем вспомнить про площадь параллелограмма?
Подсказка 3
В голову может прийти конструкция рельсов Евклида, позволяющая сравнивать площади треугольников, ограниченных параллельными прямыми. Например, чему равна площадь треугольника ACF?
Подсказка 4
Во-первых, его площадь равна половине площади искомого параллелограмма. А во-вторых, она равна площади треугольника ACD! Какой тогда можно сделать вывод о площади параллелограмма?
Подсказка 5
Да, эта площадь постоянна и равна половине площади большого квадрата! Супер, с одним из случаев разобрались, теперь рассмотрим второй! Тут так же площадь треугольника ACF равна половине площади параллелограмма. А что насчёт отношения площадей треугольников ACF и ACD?
Подсказка 6
Эти треугольники имеют общее основание, поэтому их площади относятся так же, как и их высоты! Осталось найти отношение высот и задача решена!
Возможны две разные конфигурации, в зависимости от того, где лежит точка 
вне большого квадрата или внутри него.
В случае внешнего касания квадратов площадь 
равна площади 
(эти треугольники имеют одинаковое основание 
и
равные высоты, так как 
) и, следовательно, равна половине площади большого квадрата. Это значит, что площадь
параллелограмма равна площади квадрата 
то есть 
Рассмотрим случай, когда точка 
лежит внутри большого квадрата. Найдем отношение высот треугольников 
и 
(основания у них одинаковы) — оно равно
Тогда искомая площадь равна
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
