Планиметрия на ПВГ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В равнобедренном треугольнике 
на высоте 
, которая в полтора раза больше основания 
, как на диаметре, построена
окружность, пересекающая боковую сторону 
в точке 
. Каково отношение площади треугольника 
к площади треугольника
Какая часть площади треугольника 
находится внутри окружности?
Подсказка 1
Так как наша окружность построена на BH как на диаметре, то ∠BFH=90°. Тогда в прямоугольном треугольнике BHC проведена высота HF, а в такой картинке возникает много подобных треугольников...
Подсказка 2
Если обозначить AC за 2a, BF за y, FC за x, то AH=HC=a, BH=3a. Из подобия треугольников BFH, FHC и BHC получаем, что 9a²=y(x+y) и a²=x(y+x) => y=9x. Как нам найти отношение площадей FCH и ABC, если у них есть общий угол?
Подсказка 3
Из формулы площади треугольника через стороны и синус угла между ними можно понять, что S(FCH)/S(ABC) = (CF*CH)/(CB*CA) = (y*a)/(2a*(x+y)) = 1/20. А можно ли как-то выразить x через a?
Подсказка 4
Можно! С помощью теоремы Пифагора для треугольника BHC. Получаем, что a=x * √10. Теперь мы можем выразить все отрезки на картинке через a. Чтобы узнать, какая часть площади треугольника находится внутри окружности, необходимо выразить площадь секторов HOF и HOP (где О- центр нашей окружности). А для этого нам необходимо знак угол HOF (HOF=HOP). Как его можно найти?
Подсказка 5
Можно воспользоваться теоремой косинусов для треугольника HOF, благо OF=OH=1,5a. После этого останется найти синус, и задача убита, ведь площади треугольников BOF и BOP это половинки площади треугольника BFH и BPH (FO и PO- медианы).
.png)
Введем обозначения: по условию высота 
в полтора раза больше основания 
, тогда пусть 
и
. Поскольку угол 
— прямой(опирается на диаметр), то 
, тогда из отношений подобных
сторон имеем
Из отношения площадей треугольников 
и 
с общим углом 
находим ответ на первый вопрос:
По теореме Пифагора для треугольника 
выразим 
через 
Пусть 
— центр окружности, описанной вокруг треугольника 
. Обозначим 
. Тогда по теореме косинусов для
треугольника 
, в котором
и 
как радиусы:
Обозначим площадь сектора 
через 
. Тогда по формуле кругового сектора
Пусть 
— точка пересечения окружности и стороны 
. Тогда внутри окружности, в силу симметрии, два таких сектора равной
площади: 
и 
. Кроме того, внутри окружности два треугольника одинаковой площади: 
. Теперь найдем
Тогда ответ на второй вопрос будет следующий:
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
