Планиметрия на ПВГ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Продолжение биссектрисы 
треугольника 
пересекает окружность, описанную вокруг этого треугольника в точке 
Найдите
площадь треугольника 
если 
Источники:
Подсказка 1
У нас есть одна из сторон, поэтому будем искать АН, высоту к этой стороне. Давайте будем ее искать через AD и косинус HAD
Подсказка 2
Давайте обозначим за О центр окружности и воспользуемся теоремой синусов для ABC, чтобы выразить радиус
Подсказка 3
А теперь вспомним, что АЕ - биссектриса. Посмотрите внимательно на вписанные углы, отметьте равные и поищите подобные треугольники. А затем из отношения сторон подобных треугольников выразите DE через то, что нам дано в условии (снова пригодится теорема синусов, но уже для ABE)
Подсказка 4
Пользуясь найденным в предыдущем пункте, ищем AD
Подсказка 5
AD найдена, теперь ищем косинус. Проведем диаметр EF и будем искать косинус острого угла прямоугольного треугольника (подумайте, почему угол HAD = DEF). Теперь мы нашли AD и косинус угла HAD, осталось только записать площадь!
Пусть 
— высота треугольника 
, тогда 
и площадь треугольника 
равна
Пусть 
— центр описанной окружности радиуса 
По теореме синусов для треугольника 
:
Треугольники 
и 
подобны, так как имеют общий угол с вершиной в точке 
а углы 
и 
равны как
опирающиеся на равные дуги, ибо 
— биссектриса 
следовательно,
По теореме синусов для треугольника 
получаем
Значит,
Отсюда
Пусть 
— диаметр описанной окружности, тогда 
и 
перпендикулярен 
ибо 
— середина дуги 
Так как
и 
перпендикулярны 
, то они параллельны и 
а так как угол 
опирается на диаметр,
то
Значит,
В итоге площадь треугольника 
равна
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
